Exercices
7 1 ) Soit g une fonction réglée et > O dans )O, + cri(.
a ) Soient u, v deux fonctions croissantes dans )O, +CO(, telles que u(x + 1 ) - u(x) =
V ( X + 1 ) - ~ ( x )
= g(x) pour tout x > O. Montrer que si w = u - u, on a
(Remarquer que, pour a < x < y < a + 1, o n a u ( y ) - u(x) < g(a).) En particulier, si
inf g(x) = O, il existe au plus une solution croissante de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g(x)
X>O
prenant une valeur donnée e n u n point donné.
b ) O n suppose que g décroissante dans )O, + cri (. Montrer que la série
w
rp(4 =
+ & M n ) - g(x + n ) )
est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans
)O, +cri(; si A = lim g(x), la fonction u(x) = p(x) + hr est une solution croissante de
x - + w
l'équation u(x + 1) -u(x) = g(x). Montrer que pour toute solution croissante v de cette
équation, on a v ( y ) - v(x) p ( y ) - ~ ( x )
pour O < x < y. Quelle est l'enveloppe supérieure (resp. inférieure) de l'ensemble des solutions croissantes de l'équation u(x + 1 ) - u(x)
= g(x) prenant une valeur donnée en u n point donné? Montrer que, pour que cet ensemble
se réduise à u n seul élément, il faut et il suffit que A = 0.
c) Montrer que si g(x) est croissante et > O dans (O, +cri(, il existe une infinité de solutions
croissantes de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g(x) qui prennent une valeur donnée en u n
point donné.
d ) Soit +(x) la fonction définie dans )O, +CO( par les conditions: +(x) = O pour O < x < 1,
1
1
+(x) = 1 pour 1 < x < 2, +(x) = n pour n - 1 + - < x < n + - (n 2 2); soit
n - 1
n
g(x) = +(x + 1 ) - +(x). Montrer que + est la seule solution croissante de l'équation
7 2) Soit g une fonction continue et croissante dans )O, + CO(.
a) Montrer que si 1im.inf g(x)/x = O, il existe au plus une solution convexe de l'équation
x + + m
U ( X + 1 ) - U ( X ) = g(x) prenant une valeur donnée en u n point donné (remarquer que
pour tout h > O, la fonction v(x) = u(x + h) - u(x) est une fonction croissante satisfaisant
à l'équation v(x + 1 ) - v(x) = g(x +- h) - g(x), et appliquer l'exerc. 1 a)).
b) Montrer que si g est concave dans )O, +CO(, il existe une solution convexe de l'Cquation
U ( X + 1 ) - u(x) = g(x); pour qu'il existe une seule solution convexe de cette équation
prenant une valeur donnée en u n point donné, il faut et il suffit que lim g(x)/x = O
x - + m
(cf. exerc. 1 b)).
c) O n suppose désormais queg est croissante et concave dans )O, + cri(, et que lim g(x)/x =
x + + w
O. Pour tout couple de nombres h > O, k > O, et toute fonction numérique finie f définie
dans )O, + cri (, on pose
pour x > k. Montrer que si u est une solution convexe de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g(x),
7 1 ) Soit g une fonction réglée et > O dans )O, + cri(.
a ) Soient u, v deux fonctions croissantes dans )O, +CO(, telles que u(x + 1 ) - u(x) =
V ( X + 1 ) - ~ ( x )
= g(x) pour tout x > O. Montrer que si w = u - u, on a
(Remarquer que, pour a < x < y < a + 1, o n a u ( y ) - u(x) < g(a).) En particulier, si
inf g(x) = O, il existe au plus une solution croissante de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g(x)
X>O
prenant une valeur donnée e n u n point donné.
b ) O n suppose que g décroissante dans )O, + cri (. Montrer que la série
w
rp(4 =
+ & M n ) - g(x + n ) )
est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans
)O, +cri(; si A = lim g(x), la fonction u(x) = p(x) + hr est une solution croissante de
x - + w
l'équation u(x + 1) -u(x) = g(x). Montrer que pour toute solution croissante v de cette
équation, on a v ( y ) - v(x) p ( y ) - ~ ( x )
pour O < x < y. Quelle est l'enveloppe supérieure (resp. inférieure) de l'ensemble des solutions croissantes de l'équation u(x + 1 ) - u(x)
= g(x) prenant une valeur donnée en u n point donné? Montrer que, pour que cet ensemble
se réduise à u n seul élément, il faut et il suffit que A = 0.
c) Montrer que si g(x) est croissante et > O dans (O, +cri(, il existe une infinité de solutions
croissantes de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g(x) qui prennent une valeur donnée en u n
point donné.
d ) Soit +(x) la fonction définie dans )O, +CO( par les conditions: +(x) = O pour O < x < 1,
1
1
+(x) = 1 pour 1 < x < 2, +(x) = n pour n - 1 + - < x < n + - (n 2 2); soit
n - 1
n
g(x) = +(x + 1 ) - +(x). Montrer que + est la seule solution croissante de l'équation
7 2) Soit g une fonction continue et croissante dans )O, + CO(.
a) Montrer que si 1im.inf g(x)/x = O, il existe au plus une solution convexe de l'équation
x + + m
U ( X + 1 ) - U ( X ) = g(x) prenant une valeur donnée en u n point donné (remarquer que
pour tout h > O, la fonction v(x) = u(x + h) - u(x) est une fonction croissante satisfaisant
à l'équation v(x + 1 ) - v(x) = g(x +- h) - g(x), et appliquer l'exerc. 1 a)).
b) Montrer que si g est concave dans )O, +CO(, il existe une solution convexe de l'Cquation
U ( X + 1 ) - u(x) = g(x); pour qu'il existe une seule solution convexe de cette équation
prenant une valeur donnée en u n point donné, il faut et il suffit que lim g(x)/x = O
x - + m
(cf. exerc. 1 b)).
c) O n suppose désormais queg est croissante et concave dans )O, + cri(, et que lim g(x)/x =
x + + w
O. Pour tout couple de nombres h > O, k > O, et toute fonction numérique finie f définie
dans )O, + cri (, on pose
pour x > k. Montrer que si u est une solution convexe de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g(x),