No 3
LA FONCTION I? DANS LE DOMAINE COMPLEXE
FVR VII.17
De même, si Itl > A, on a lx + ul = 1s + u + itl 2 I'A~ + (S + u ) ~
pour
tout u réel, d'où
On voit donc que, lorsque x et y sont dans HA, on a
CP
IRp(x,y)l G A,
où C, ne dépend que de p. Soit alors 8 le filtre ayant pour base les ensembles HA;
le critère de Cauchy montre que, suivant le filtre 8, la fonction log F(z) - g(z)
a une limitefinie 8 (modulo 2ni) et que, si on pose o(z) = max (B?(z), 14(z) )), on a
Pour x réel et >O, on a r(x) > O, et g(x) est réel, donc on peut supposer 6 réel,
et on a
Nous allons en déduire la valeur de la constante 8; d'après la prop. 2 de VII,
p. 14, appliquée pour p = 2, on a, pour x réel tendant vers +CD
x - 1
x x
x
x + l
x + l + 2 S
2
log2 - 5 + ?log- -
2
2
= xlogx - x - 'zlogx + (' z - x) log2 + +log2n + 6 + o(1)
d'où on tire aisément 6 = 3 log 2x. On a donc finalement le résultat suivant:
PROPOSITION 4. - Suivant le jltre 8, on a (pour tout entier p > 1) le développement
(développement de Stirling).
COROLLAIRE. - Suivant lejltre 8, on a
(20)
r(z) - i 2 n exp (zlog z - z -
En particulier, pour x réel et tendant vers +CD, la formule (20) s'écrit
(21)
r(x) - 12nxx-'2 edX,