NO 3
LA FONCTION r DANS LE DOMAINE COMPLEXE
FVR VII.15
on déduit, en intégrant, pour x > O
Mais l'intégrale du premier membre est aussi égale à J";+' log r(t) dt. On a
donc, d'après (14),
3. Le développement de Stirling
Soient x et y deux nombres complexes non situés sur le demi-axe réel négatif;
d'après la formule (3) de VII, p. 11, et avec les conventions de VII, p. 12 concernant les logarithmes, log r(x) - log !?(y) est congru modulo 2xi à la limite
de l'expression
Posons f (t) = log (y + t) - log (x + t) ; nous allons appliquer à la fonction
f la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin (VI, p. 20)
avec
Comme
f'"'(t) = ( - y '
1
-
(m - l ) ! ((y + t)" (x + l t)" ).
f(2k-1)(n + 1) tend vers O lorsque n tend vers +a, pour tout k 2 1; il en est
d'ailleurs de même de
f(n + 1) = log 1 + -
( n Y 1) - log (1 + &) *
D'autre part, on a
son
+
l
log (X + t) dt = (x + n + l)(log (x + n + 1) - 1) - x(1og x - 1) ;