FVR VII.14
LA FONCTION GAMMA
puisque f (0) > O; la relation des compléments donne par suite
et comme le produit du second membre est égal à p/2p-1 ( V I , p. 15, cor. l ) , on
voit finalement que :
PROPOSITION 2. - Pour tout nombre complexe z distinct d'un entier < O et pour tout entier
p > O, on a
(formule de multiplication de Legendre-Gauss) .
PROPOSITION 3. - Pour tout nombre réel x > O, on a
(intégrale de Raabe).
1
Démontrons d'abord la formule (13) pour x = O. Comme log r ( x ) - log -
X
lorsque x tend vers 0, l'intégrale J": log r ( x ) dx est convergente. En outre, dans
)O, 11, la fonction log r ( x ) est décroissante ( V I I , p. 6); pour tout cc > O, on a
donc
q étant le plus grand entier tel que q/n < or. Comme Ji log ï ( x ) dx tend vers O
1
avec or et que - 2 log i'
log r ( x ) dx lorsque n tend vers + m
n k = q + i
( I I , p. 7, prop. 5), on a
Sol
log r ( ~ )
dx = lim 1 5 log r($
n-tm ?2 k = l
Mais, d'après (12), le second membre de cette formule est limite de
n - 1
1 log n
log 2 x - Z n y
Zn
d'où
(14)
J log P(x) dx = 4 log 2a.
O
Remarquons maintenant que, de l'identité