FVR VII.12
LA FONCTION GAMMA
5 . 2
pour z E K, et n > p. On voit donc (cf. II, p. 68, Remarque 3) que r ( z ) est indtjçniment dérivable en tous les points z E C distincts des points - n, et on a en ces points
pour k 2 2,
les séries des seconds membres de (5) et (6) étant normalement convergentes dans
tout ensemble compact contenu dans C et ne contenant aucun entier GO. On
peut écrire en outre
en convenant que lorsqu'un logarithme, dans cette formule, porte sur un nombre
réel négatif, il a l'une ou l'autre des deux valeurs limites (différant de 2ni) de
log z en ce point; la série du second membre de (7) est alors normalement convergente dans tout ensemble compact contenu dans C et ne contenant aucun
entier < 0.
2. La relation des compléments et la formule de multiplication de LegendreGauss
On tire aussitôt de la formule (2) de VII, p. 11, que, pour tout z E C
Or, le développement eulérien de sin z (VI, p. 18, th. 2) montre que
1 .
2 n = l
fi (1 - g) = ; sm nz;
tenant compte de l'équation fonctionnelle (4) de VII, p. 11, on voit donc que:
PROPOSITION 1. - Pour tout z complexe, on a
(8)
1
1
= - sin xz
r ( z ) r ( i - z )
(relation des compléments).
COROLLAIRE. - Pour tout t réel, on a
,
-