NO 1
LA FONCTION r DANS LE DOMAINE COMPLEXE
FVR ~ 1 1 . 1 1
p. 16, formule (8)), d'où
1zI2
el zl
avec Ivn(z) 1 6 - (1 + - (1 + 121)) ; le produit infini considéré est donc
n2
2
absolument et uniformément convergent dans toute partie compacte de C; en outre, sa
valeur n'est nulle que pour les points z = - n (TG, IX, p. 80, corollaire). En
raison de la formule (1) de VII, p. 10, on pose, pour tout z complexe
La fonction F(z) est ainsi définie pour tout point z E C distinct des points
- n (n E N) ; elle est continue dans cet ensemble, et au voisinage de - n, on a
-
( - t)n. La formule (2) montre que l'on a r(r) = r ( z ) pour
(Z + n)r(z) - - n.
tout z distinct d'un entier négatif.
Le raisonnement qui permet de passer de la formule de Gauss (VII, p. 3,
formule (8)) à la formule de Weierstrass, repris en sens inverse, s'applique aussi
pour z complexe, et montre que, pour tout z # - n (n E N), on a
nz.n!
r(z) = lim z(z + 1) . . . (z + n)
en convenant de poser n" = e Z I O g n . Comme on a
on a encore, en passant à la limite, l'équation fonctionnelle fondamentale
(4)
r ( z + 1) = zr(z)
pour tout z # -n EN).
Soit p un entier > O quelconque, et K, le disque ouvert lzl < p; pour tout
Z
z E K p et tout entier n > p, 1 + - n'est pas un nombre réel négatif, donc
n
log 1 + - est défini, et il résulte de ce qui précède que la série de terme
( 3
général log 1 + - - - (n > p) est normalement convergente dans K,; il en est
( 3 :
de même des séries obtenues en dérivant un nombre quelconque de fois le terme
gCnéral, puisqu'on a