FVR VII.10
LA FONCTION GAMMA
D'autre part, pour x > O et y > O, on a
1
l
(1 - t)Y-l - 1
=; + Io tx t
dt.
(1 - t)Y-1 - 1
La fonction cp (t ) =
t
est coritinue dans l'intervalle compact (O, 1);
comme
x2
xn
t x = eXlogt = 1 + x log t + - (log t)' + . . . + a (log t)" + rn(x, t)
2!
Xn + 1
avec 1 rn(x, t ) 1 <
llog t ln + l (puisque log t < O et x > O), la formule
(n i - l ) !
(25) donne pour B(x, y) le développement asymptotique au voisinage de x = O
B(x,y) = ! + ~ ( t )
dt + XI,' ~ + ! ( t )
log tdt + - .
X
+ $ JO1 p(t) (log t)" dl + 02(xn+l).
Pour n = 1, l'identification de ce développement à (24) donne en particulier
rr(y)
(1 - t).-l - 1
r y i ) - - = JO1
U Y )
dt.
t
D'ailleurs la formule (10) donne ï'(1) = rr(l)/l?(l) = -y, donc (intégrale
de Gauss)
5 2. LA FONCTION GAMMA DANS LE DOMAINE COMPLEXE
1. Prolongement à C de la fonction g a m m a
Reprenons la formule de Weierstrass qui donne l'expression de Ilr(x) pour
tout x réel
et considérons le produit infini de terme général
e-xin, pour z complexe
2
lz12 12/n1 (III,
quelconque. On peut écrire e-"In = 1 - - + h(z), avec (h(z) [ 6 - e
n
2n2