No 3
LA FONCTION r DANS LE DOMAINE RÉEL
FVR VII.9
Il en résulte que f (x) = B(x, y)r(x + y) satisfait à l'identité (1) de VII, p. 1.
D'autre part cette fonction est logarithmiquement convexe, comme produit de
deux fonctions logarithmiquement convexes. Enfin, on a f (1) = B(l, y)r(y + 1),
1
et B(1, y) = 1: (1 - t)Y-l dt = lly, d'où f(1) = - l'(y + 1) = I'(y). La
Y
fonction f (x)/F(y) est donc égale à r(x) d'après la prop. 1 de VII, p. 2, ce qui
démontre (18).
Par le changement de variable t = - 5 '
la formule (18) devient
u f 1
et par le changement de variable t = sin2 9,
Si, dans cette dernière formule, on fait x = y = +, il vient
-
(21)
r(+) = i x
d'où, en vertu de (1 7)
D'après la relation (7) de VII, p. 3, on a pour I'(x), au voisinage de O, le
développement asymptotique
De même, pour tout y fixe et >O, on peut écrire
et la formule (18) donne donc, pour y fixe, le développement asymptotique au
voisinage de x = O