FVR VII.8
LA FONCTION GAMMA
$ 1
En effet, la fonction g(x) = J," e-t t x - l dt est définie pour tout x > O (V,
p. 19) ; le lemme 3 de VII, p. 7, montre donc qu'elle est logarithmiquement convexe
dans )O, +CO(. D'autre part, en intégrant par parties, on a
Autrement dit, g est une solution de l'équation (1) de VII, p. 1 ; enfin,
la proposition résulte donc de la prop. 1 de VII, p. 2.
Par le changement de variable e ë t = u, on déduit de (14) (VII, p. 7) la formule
De même, par le changement de variable u = tx, il vient
ou encore, en tenant compte de (7) (VII, p. 1)
et en particulier, pour x = 2
PROPOSITION 4. - Pour x > O et y > O, l'intégrale
(première intégrale eulérienne) a pour ualeur
En effet, l'intégrale est convergente pour x > O et y > O (V, p. 19). D'après
le lemme 3 de VII, p. 7, la fonction x H B(x, y ) est logarithmiquement convexe pour
x > O. D'autre part, on a
d'où, en intégrant par parties