No 3
LA FONCTION I ' DANS LE DOMAINE RÉEL
FVR VII.7
En effet, la relation D2(log f (x)) 2 O s'écrit f (x) f (x) - ( f ' ( ~ ) ) ~
2 O. Nous
sommes ramenés à montrer que les relations a 2 O, a' 2 O, ac - b2 2 0,
a'c' - bt2 2 O entraînent (a + a')(c + cf) - (b + b')2 2 0; or, les relations
a 2 O, ac - b2 2 O équivalent au fait que la forme quadratique ax2 + 2bxy + cy2
est 2 O dans Ra, et il est clair que si
dans R" on a aussi (a + a')x2 + 2(b + bl)xy + (c + c')y2 2 O dans R2.
Lemme 2. - Soit une fonction numérique $nie et > 0, définie et continue dans le produit
1 x J de deux intervalles ouverts dans R et telle que, pour tout t E J, la fonction x tt f (x, t)
soit logarithmiquement convexe et deux fois dérivable dans 1. Dans ces conditions, si pour
tout x E 1, l'intégrale g(x) = JJ f (x, t) dt est convergente, g est logarithmiquement convexe
dans 1.
Montrons d'abord que, pour tout intervalle compact I< c J, la fonction
gK(x) = jK f (x, t)dt est logarithmiquement convexe. En effet, si K = (a, b), la
suite des fonctions
n - 1
gn(x) = o "
n k = o
2 f (x, a + , t h )
n
converge simplement vers gK(x) dans 1 (II, p. 7, prop. 5), donc log gn converge
simplement vers logg,; d'après le lemme 1 de VII, p. 6, logg, est convexe
dans 1, donc (1, p. 35, prop. 4) il en est de même de log gK.
D'autre part, g est limite simple des g , suivant l'ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1 (II, p. 15), donc logg est limite simple des
log g,; ces dernières fonctions étant convexes dans 1, il en est de même de log g
(1, p. 35, prop. 4).
On montre facilement que les lemmes 1 et 2 sont encore valables lorsque l'on
n'y suppose plus les fonctions deux fois dérivables (VII, p. 20, exerc. 5).
Lemme 3. - Soit
LA FONCTION I ' DANS LE DOMAINE RÉEL
FVR VII.7
En effet, la relation D2(log f (x)) 2 O s'écrit f (x) f (x) - ( f ' ( ~ ) ) ~
2 O. Nous
sommes ramenés à montrer que les relations a 2 O, a' 2 O, ac - b2 2 0,
a'c' - bt2 2 O entraînent (a + a')(c + cf) - (b + b')2 2 0; or, les relations
a 2 O, ac - b2 2 O équivalent au fait que la forme quadratique ax2 + 2bxy + cy2
est 2 O dans Ra, et il est clair que si
dans R" on a aussi (a + a')x2 + 2(b + bl)xy + (c + c')y2 2 O dans R2.
Lemme 2. - Soit une fonction numérique $nie et > 0, définie et continue dans le produit
1 x J de deux intervalles ouverts dans R et telle que, pour tout t E J, la fonction x tt f (x, t)
soit logarithmiquement convexe et deux fois dérivable dans 1. Dans ces conditions, si pour
tout x E 1, l'intégrale g(x) = JJ f (x, t) dt est convergente, g est logarithmiquement convexe
dans 1.
Montrons d'abord que, pour tout intervalle compact I< c J, la fonction
gK(x) = jK f (x, t)dt est logarithmiquement convexe. En effet, si K = (a, b), la
suite des fonctions
n - 1
gn(x) = o "
n k = o
2 f (x, a + , t h )
n
converge simplement vers gK(x) dans 1 (II, p. 7, prop. 5), donc log gn converge
simplement vers logg,; d'après le lemme 1 de VII, p. 6, logg, est convexe
dans 1, donc (1, p. 35, prop. 4) il en est de même de log gK.
D'autre part, g est limite simple des g , suivant l'ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1 (II, p. 15), donc logg est limite simple des
log g,; ces dernières fonctions étant convexes dans 1, il en est de même de log g
(1, p. 35, prop. 4).
On montre facilement que les lemmes 1 et 2 sont encore valables lorsque l'on
n'y suppose plus les fonctions deux fois dérivables (VII, p. 20, exerc. 5).
Lemme 3. - Soit
O dans un intervalle ouvert J contenu dans
(0, + CO(. Si 1 est un intervalle ouvert tel que l'intégrale g(x) = jJ tx-l
deux fois dérivable pour tout t > O, donc le lemme 2 est applicable.
PROPOSITION 3. - Pour tout x > O, on a
(seconde intégrale eulérienne).