FVR VII.6
LA FONCTION
- - 1
- - 2
- - 3
' ' I l
Fig. 1
et par suite i"'(x) a le signe de I'(x) ; I' est donc convexe pour x > O et pour
-(Zn + 2) < x < -(Zn + l ) , concavepour -(Zn + 1) < x < -Zn ( n ~ N ) ; o n
en déduit que, dans les intervalles où I
' est convexe, I"(x) croît de - m à + m, et
dans les intervalles où I' est concave, F ( x ) ddcroit de + CO à -m. D'où la courbe
représentative de I' (fig. 1).
3. Les intégrales eulériennes
Nous dirons pour abréger qu'une fonction f définie dans un intervalle 1 c R
et > O dans cet intervalle, est logarithmiquement convexe dans 1 si log f est convexe
dans 1. La définition de I'(x) montre donc que cette fonction est logarithmiquement convexe dans )O, + CO(.
Il est clair que le broduit de deux fonctions logarithmiquement convexes dans
1 est logarithmiquement convexe dans 1. En outre:
Lemme 1. - Soient f et g deux fonctions > O et deux fois dérivables dans un intervalle ouvert
1. Si f et g sont logarithmiquement convexes dans 1, f + g est logarithmiquement convexe
dans I.