No 2
LA FONCTION I' DANS LE DOMAINE RÉEL
FVR VII.5
absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu
dans (O, +CO(, et on a bien les relations (10) et (1 1) de VII, p. 4, pour tout x > O
X
(II, p. 2, th. 1). D'ailleurs, pour tout x E R, - - log
n
que n est assez grand, donc le th. 1 de II, p. 2, montre encore que le produit infini
du second membre de (9) (VII, p. 3) est absolument et uniformément convergent dans tout intervalle compact ne contenant aucun entier 6 0.
La fonction I'(x), définie pour x > O, peut se prolonger à tout l'ensemble des
points x distincts des entiers 6 0 de façon à satisfaire à l'équation (7) de VII, p. 3,
dans cet ensemble: il suffit, pour - (n + 1) < x < -n, de poser
D'après la prop. 2 de VII, p. 3, les formules (8), (9), (10) et (11) de VII, p. 3
et 4 sont encore valables dans cet ensemble. La formule (9) (VII, p. 3) montre
que r(x) - l/x lorsque x tend vers O, d'où, d'après (7) de VII, p. 3,
lorsque x tend vers - n (n entier 2 O). La fonction l/ï(x) peut donc être prolongée par continuité à R tout entier, en lui donnant la valeur O aux entiers Q O;
on a alors, pour tout x E R
1
- -
X(X + 1). . . (X + n)
- lim
n - t m
nx.n!
et on montre comme dans la prop. 2 de VII, p. 3 que le produit infini du second
membre de (13) est absolument et uniformkment convergent dans tout intervalle
compact de R.
Comme I'(x) > O pour x > 0, l'équation (7) de VII, p. 3, montre que l'on a
r(x) < O pour - (2n - 1) < x < - (2n - 2) et I'(x) > O pour
(n entier 3 1) ; r(x) a pour limite à droite + a3 aux points - 2n, - co aux points
- (2n + l), pour limite à gauche - oo aux points - 2n, + co aux points - (2n + 1)
(pour tout n E N ) . La formule (11) de VII, p. 4, montre que, pour k = 2, le
second membre est toujours 2 0 lorsqu'il est défini, donc