FVR VIL4
LA FONCTION GAMMA
$ 1
où y désigne la constante d'Euler, et le produit injni du second membre de (9) est absolument
et uniformément convergent dans tout intervalle compact de R ne contenant aucun entier < O
(formule de Weierstrass).
La fonction r(x) est indéJiniment dérivable dans )O, +CO(, et on a
m
Dk(log r(x)) = 2
(-l)k(k - l ) ! pour k 2 2,
n = o
(x + n)k
les séries quijgurent aux seconds membres de (10) et (1 1) étant absolument et uniformément
convergentes dans tout interualle compact ne contenant aucun entier < 0.
En effet, la démonstration de la prop. 1 de VII, p. 2, montre que
nx(n - 1) !
r(x) = lim
.,, X(X + l ) . . .(x + n - 1)
n
d'où la formule de Gauss, puisque --- tend vers 1 lorsque n tend vers +m.
x + n
On peut aussi écrire
n
n
log - = - log - - -
n - 1
n - 1
n - 1
n - 1
donc (avec les notations de la prop. 1)
n
1
et la série de terme général log - - - est absolument convergente et a
n - 1
n - 1
pour somme - y, où y désigne la constante d'Euler (V, p. 32), d'où la formule de
Weierstrass.
Pour 1x1 < a, on a ll/(x + n)kl < l/(n - a)lc dès quen > a, donclasériedu
second membre de ( I l ) est absolument et uniformément convergente dans tout
intervalle compact de R ne contenant aucun entier k >, 2; le même raisonnement s'applique à la série du second membre de (IO),
1
a
puisque - - - <
1
: x + nI n(n - a)
pour 1x1 < a et n > a. Comme ces séries
s'obtiennent en dérivant terme à terme la série
X
qui converge pour tout x > O, la série de terme général - - log
n