FVR VII.3
n
Comme log - tend vers O lorsque n tend vers i - CO, on déduit de (6) que si
n - 1
la solution g existe, elle est nécessairement égale, dans )O, l), à la limite de g,(x).
Or, on tire aussitôt de la relation (5) que, pour tout x fixe et >O, on a
lorsque n tend vers +CO, ce qui prouve que la série de terme général un(x) converge tout x > O. Chacune des fonctions un(x) étant convexe dans )O, + CO(, ainsi
que -log x, la fonction g(x) = -log x + 5 un(%) est convexe dans cet intern = 2
valle (1, p. 35, prop. 2 et prop. 4) ; enfin, on a un(l) = O, d'où g(1) = O, et
d'où
g(x + 1) = -log (x + 1) + xlog2 + t un(%) = logx + g(x);
n = 3
autrement dit, g satisfait à l'équation (3) de VII, p. 2.
DÉFINITION 1. - On désigne par r(x) la fonction > O déjinie dans l'intervalle )O, + CO(,
sati.$aisant à l'équation
(7)
r ( x + 1) = x ~ ( x ) ,
telle que I'(1) = 1 et que log r(x) soit conuexe dans )O, + CO(.
2. Propriétés de la fonction g a m m a
PROPOSITION 2. - Pour tout x > O, on a
(formule de Gauss), et
nX.n!
F(x) = lim
,,, X(X + 1). . . (X + n)