FVR VIL2
LA FONCTION GAMMA
g 1
dans l'intervalle )n, n + 1); il est clair que f est continue dans )O, + a ( , satisfait
à l'équation (l), et prolonge I'(n).
Si f est une solution continue de (1) et prend des valeurs >O dans )O, l),
elle prend des valeurs > O dans )O, + co( d'après (2) ; la fonction g(x) = log f (x)
est donc définie et continue dans )O, + a ( et satisfait dans cet intervalle à
l'équation
(3)
g(x + 1) - g(x) = logx.
Sig, est une seconde solution continue de (3) dans )O, + a ( , et si h = g, - g,
on a h(x + 1) - h(x) = O pour tout x > O; autrement dit, h est une fonction
continue périodique de période 1, définie dans )O, + a ( ; inversement, pour toute
fonction h de cette nature, g + h est une solution continue de (3).
PROPOSITION 1. - Il existe une fonction convexe et une seule g, d&nie dans )O, + a ( ,
satisfaisant à l'équation (3) et prenant la valeur O pour x = 1.
Montrons d'abord que s'il existe une fonction g satisfaisant aux conditions de
l'énoncé, elle est bien déterminée dans l'fntervalle )O, l), et par suite dans tout
l'intervalle )O, + a ( . En effet, pour tout entier n > 1, la pente de la droite joignant le point (n, g(n)) au point (x, g(x)) est fonction croissante de x, puisque g
est convexe (1, p. 36, prop. 5) ; on doit donc avoir, pour O < x G 1
c'est-à-dire, d'après (3)
(4)
x log (n - 1) < g(x + n) - g(n) < x log n.
Or, d'après (3), on a
. -
g(x + n) - g(n) = g(x) + log x + Z (log (x + k) - log k).
k = l
y donc l'inégalité (4) s'écrit
D'autre part, on peut écrire log n = k =
5 log - -
n - 1
k
x Z log -
k = 2
k - 1
G g(x) + log x
n
+ 2 (log
k = 2
Posons, pour tout n > 2
(5)
n
u,(x) = x log - - log (x + n - 1) +
n - 1
n
k
1)) G x 2 log-.
k = 2
k - 1
log (n - 1)