CHAPITRE VI1
La fonction gamma
5 1. LA FONCTION GAMMA DANS LE DOMAINE RÉEL
1. Définition de la fonction gamma
Nous avons défini (E, III, p. 41) la fonction n! pour tout entier n 3 0, comme
égale au produit n (n - k); on a donc O! = 1, ( n + l ) ! = (n + 1).n!
O $ k i n
pour n 3 0. Nous poserons r(n) = (n - 1) ! pour tout entier n 3 1 ; nous nous
proposons de définir, dans l'ensemble des nombres réels x > O, une fonction
continue r(x), prolongeant la fonction I' définie sur l'ensemble des entiers 3 1.
Il est clair qu'il existe une infinité de telles fonctions; comme on a la relation
F(n + 1) = nr(n) pour tout entier n 3 1, nous nous bornerons à considérer,
parmi les fonctions continues qui prolongent r, celles qui pour tout x > O
satisfont à l'équation
(1)
f(x + 1) = xf(x).
Pour qu'une solution de cette équation soit un prolongement de r(n), il faut
et il suffit qu'on ait en outre f (1) = 1.
Si f satisfait à (l), pour tout n entier > 1, on a, par récurrence sur n
pour tout x > O. Cette relation montre en particulier que les valeurs de f dans
un intervalle )n, n + 1) (n entier 3 1) sont déterminées par ses valeurs dans
l'intervalle )O, 1). Inversement, soit cp une fonction continue dans )O, l), satisfaisant aux seules conditions y (1) = 1, lim xcp (x) = 1 ; pour tout entier n 3 1,
x-+o
définissons f par la relation