FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
FVR VI.29
Mais Maclaurin, comme Euler et tous les mathématiciens de son temps,
présente toutes ses formules comme des développements en série, dont la convergence n'est même pas étudiée. Ce n'est pas que la notion de série convergente
fût totalement négligée à cette époque: on savait depuis Jakob Bernoulli que la
série harmonique est divergente, et Euler avait lui-même précisé ce résultat en
évaluant la somme des n premiers termes de cette série à l'aide de sa formule
sommatoire (III c et d) ; c'est aussi Euler qui remarque que le rapport de deux
nombres de Bernoulli consécutifs croit indéfiniment, et par suite qu'une série
entière ayant ces nombres pour coefficients ne peut converger ((III f), p. 357)l.
Mais la tendance au calcul formel est la plus forte, et l'extraordinaire intuition
d'Euler lui-même ne l'empêche pas de tomber parfois dans l'absurde, lorsqu'il
écrit par exemple 0 = y 9 ((III f ) , p. 362) 2.
n=-00
Nous avons dit ailleurs (Note hist. du chap. IV) comment les mathématiciens
du début du xlxe siècle, lassés de ce formalisme sans frein et sans fondement,
ramenèrent l'Analyse dans les voies de la rigueur. Une fois la notion de série
convergente précisée, apparut la nécessité de critères simples permettant de
démontrer la convergence des intégrales et des séries par comparaison avec des
intégrales ou séries connues; Cauchy donne un certain nombre de ces critères
dans son Analyse algébrique (Va), tandis qu'Abel, dans un mémoire posthume (VI),
obtient les critères logarithmiques de convergence. Cauchy, d'autre part (V b),
élucide le paradoxe des séries telles que la série de Stirling, obtenues par application de la formule d'Euler-Maclaurin (et souvent appelées a séries semi-convergentes ))) ; il montre que si (en raison de la remarque d'Euler sur les nombres
de Bernoulli) le terme général u,(n) d'une telle série, pour une valeur Jixe de n,
croit indéfiniment avec k, il n'en reste pas moins que, pour une valeurfixe de k, la
k
somme partielle s,(n) = 2 uh(n) donne un développement asymptotique
h = l
(pour n tendant vers + co) de la fonction a représentée >) par la série, d'autant
pius précis que k est plus grand.
Dans la plupart des calculs de l'Analyse classique, il est possible d'obtenir une
loi générale de formation des développements asymptotiques d'une fonction,
ayant un nombre de termes arbitrairement grand; ce fait a contribué à créer une
confusion durable (tout au moins dans le langage) entre séries et développements
asymptotiques; si bien que H. Poincaré, lorsqu'il prend la peine, en 1886 (VIII),
de codifier les règles élémentaires des développements asymptotiques (suivant les
puissances entières de 1 lx au voisinage de + GO), emploie encore le vocabulaire de
1 Comme la série que considère Euler en cet endroit est introduite en vue du calcul numérique,
il n'en prend que la somme des termes qui vont en décroissant, et à partir de l'indice où les termes
commencent à croître, il les remplace par un reste dont il n'indique pas l'origine (le reste de la formule d'Euler-Maclaurin sous sa forme générale n'apparaît pas avant Cauchy).
Il est piquant que cette formule suive, à une page de distance, un passage où Euler met en garde
contre l'usage inconsidéré des séries divergentes !
FVR VI.29
Mais Maclaurin, comme Euler et tous les mathématiciens de son temps,
présente toutes ses formules comme des développements en série, dont la convergence n'est même pas étudiée. Ce n'est pas que la notion de série convergente
fût totalement négligée à cette époque: on savait depuis Jakob Bernoulli que la
série harmonique est divergente, et Euler avait lui-même précisé ce résultat en
évaluant la somme des n premiers termes de cette série à l'aide de sa formule
sommatoire (III c et d) ; c'est aussi Euler qui remarque que le rapport de deux
nombres de Bernoulli consécutifs croit indéfiniment, et par suite qu'une série
entière ayant ces nombres pour coefficients ne peut converger ((III f), p. 357)l.
Mais la tendance au calcul formel est la plus forte, et l'extraordinaire intuition
d'Euler lui-même ne l'empêche pas de tomber parfois dans l'absurde, lorsqu'il
écrit par exemple 0 = y 9 ((III f ) , p. 362) 2.
n=-00
Nous avons dit ailleurs (Note hist. du chap. IV) comment les mathématiciens
du début du xlxe siècle, lassés de ce formalisme sans frein et sans fondement,
ramenèrent l'Analyse dans les voies de la rigueur. Une fois la notion de série
convergente précisée, apparut la nécessité de critères simples permettant de
démontrer la convergence des intégrales et des séries par comparaison avec des
intégrales ou séries connues; Cauchy donne un certain nombre de ces critères
dans son Analyse algébrique (Va), tandis qu'Abel, dans un mémoire posthume (VI),
obtient les critères logarithmiques de convergence. Cauchy, d'autre part (V b),
élucide le paradoxe des séries telles que la série de Stirling, obtenues par application de la formule d'Euler-Maclaurin (et souvent appelées a séries semi-convergentes ))) ; il montre que si (en raison de la remarque d'Euler sur les nombres
de Bernoulli) le terme général u,(n) d'une telle série, pour une valeur Jixe de n,
croit indéfiniment avec k, il n'en reste pas moins que, pour une valeurfixe de k, la
k
somme partielle s,(n) = 2 uh(n) donne un développement asymptotique
h = l
(pour n tendant vers + co) de la fonction a représentée >) par la série, d'autant
pius précis que k est plus grand.
Dans la plupart des calculs de l'Analyse classique, il est possible d'obtenir une
loi générale de formation des développements asymptotiques d'une fonction,
ayant un nombre de termes arbitrairement grand; ce fait a contribué à créer une
confusion durable (tout au moins dans le langage) entre séries et développements
asymptotiques; si bien que H. Poincaré, lorsqu'il prend la peine, en 1886 (VIII),
de codifier les règles élémentaires des développements asymptotiques (suivant les
puissances entières de 1 lx au voisinage de + GO), emploie encore le vocabulaire de
1 Comme la série que considère Euler en cet endroit est introduite en vue du calcul numérique,
il n'en prend que la somme des termes qui vont en décroissant, et à partir de l'indice où les termes
commencent à croître, il les remplace par un reste dont il n'indique pas l'origine (le reste de la formule d'Euler-Maclaurin sous sa forme générale n'apparaît pas avant Cauchy).
Il est piquant que cette formule suive, à une page de distance, un passage où Euler met en garde
contre l'usage inconsidéré des séries divergentes !