FVR VI.28
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
n
questions qui s'y rattachent. Posant S(n) = 2 f (k), il applique à la fonction
k = l
S (n) la formule de Taylor, ce qui lui donne
équation qu'il ((inverse >> par la méthode des coefficients indéterminés, en cherchant une solution de la forme
il obtient ainsi de proche en proche
sans pouvoir tout d'abord déterminer la loi de formation des coefficients (III a et
d). Mais vers 1735, par analogie avec la décomposition d'un polynôme en facteurs du premier degré, il n'hésite pas à écrire la formulc
sin s
s
s
s
1 - - =
sin a
(1 -: ) (1 --) x - a (1 ----) - n - a (1 --) 2x - a
et en égalant les coefficients des développements des deux membres en série entière
1
il obtient en particulier (pour a = n/2) les célèbres expressions des séries 2 -
n = l nZk
à l'aide des puissances de x (III b)l. Quelques années plus tard, il s'aperçoit
enfin que les coefficients de ces puissances de x sont donnés par les mêmes équations que ceux de sa formule sommatoire, et reconnaît leur lien avec les nombres
introduits par Bernoulli, et avec les coefficients du développement en série de
z/(e2 - 1) (III g).
Indépendamment d'Euler, Maclaurin était arrivé vers la même époque à la
même formule sommatoire, par une voie un peu moins hasardeuse, voisine de
celle que nous avons suivie dans le texte; il itère en effet la formulc <( taylorienne ))
qui exprime f (x) à l'aide des différences f ( 2 k + l)(x + 1) - f (2k +l)(x), formule
qu'il obtient en (( inversant les développements de Taylor de ces différences par
la méthode des coefficients indéterminés (IV) ; il n'aperçoit d'ailleurs pas la loi
de formation des coefficients, découverte par Euler.
l En 1743, Euler, pour répondre à diverses critiques de ses contemporains, donne une dérivation
un peu plus plausible des « développements eulériens » des fonctions trigonométriques; par exemple,
1
le développement en produit infini de sin x est tiré de l'expression sin x = - (e-lx - et"
2i
), et du fait
que e" est limite du polyn6me (1 + :). (III r ) .
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
n
questions qui s'y rattachent. Posant S(n) = 2 f (k), il applique à la fonction
k = l
S (n) la formule de Taylor, ce qui lui donne
équation qu'il ((inverse >> par la méthode des coefficients indéterminés, en cherchant une solution de la forme
il obtient ainsi de proche en proche
sans pouvoir tout d'abord déterminer la loi de formation des coefficients (III a et
d). Mais vers 1735, par analogie avec la décomposition d'un polynôme en facteurs du premier degré, il n'hésite pas à écrire la formulc
sin s
s
s
s
1 - - =
sin a
(1 -: ) (1 --) x - a (1 ----) - n - a (1 --) 2x - a
et en égalant les coefficients des développements des deux membres en série entière
1
il obtient en particulier (pour a = n/2) les célèbres expressions des séries 2 -
n = l nZk
à l'aide des puissances de x (III b)l. Quelques années plus tard, il s'aperçoit
enfin que les coefficients de ces puissances de x sont donnés par les mêmes équations que ceux de sa formule sommatoire, et reconnaît leur lien avec les nombres
introduits par Bernoulli, et avec les coefficients du développement en série de
z/(e2 - 1) (III g).
Indépendamment d'Euler, Maclaurin était arrivé vers la même époque à la
même formule sommatoire, par une voie un peu moins hasardeuse, voisine de
celle que nous avons suivie dans le texte; il itère en effet la formulc <( taylorienne ))
qui exprime f (x) à l'aide des différences f ( 2 k + l)(x + 1) - f (2k +l)(x), formule
qu'il obtient en (( inversant les développements de Taylor de ces différences par
la méthode des coefficients indéterminés (IV) ; il n'aperçoit d'ailleurs pas la loi
de formation des coefficients, découverte par Euler.
l En 1743, Euler, pour répondre à diverses critiques de ses contemporains, donne une dérivation
un peu plus plausible des « développements eulériens » des fonctions trigonométriques; par exemple,
1
le développement en produit infini de sin x est tiré de l'expression sin x = - (e-lx - et"
2i
), et du fait
que e" est limite du polyn6me (1 + :). (III r ) .