NOTE HISTORIQUE
(Chapitres V et V I )
(N.B. -Les chiffres romains entre parenthèses renvoient à la bibliographie
placée à la fin de cette note.)
La distinction entre les (t infiniment petits )> (ou <( infiniment grands )>) de
divers ordres, apparaît implicitement dès les premiers écrits sur le Calcul différentiel, et par exemple dans ceux de Fermat; elle devient pleinement consciente
chez Newton et Leibniz, avec la théorie des <( différences d'ordre supérieur )>;
et on ne tarde pas à observer que, dans les cas les plus simples, la limite (ou (( vraie
valeur O ) d'une expression de la forme f (x)/g(x), en un point où f et g tendent
toutes deux vers 0, est donnée par le développement de Taylor de ces fonctions
au voisinage du point considéré (a règle de l'Hôpital H, due vraisemblablement à
Johann Bernoulli).
En dehors de ce cas élémentaire, le principal problème dy (( évaluation asymptotique qui se pose aux mathématiciens dès la fin du xvne siècle est le calcul,
exact ou approché, de sommes de la forme 2 f (k), lorsque n est très grand; un
k = l
tel calcul est en effet nécessaire aussi bien pour l'interpolation et l'évaluation
numérique de la somme d'une série, que dans le Calcul des probabilités, où
les ((fonctions de grands nombres )> telles que n! ou
jouent un rôle prépon(3
1
dérant. Déjà Newton, pour obtenir des valeurs approchées de 5 - lorsque n
k = i a + k
est grand, indique une m6tliode qui revient (sur ce cas particulier) à calculer les
premiers termes de la formule d'Euler-Maclaurin (1). Vers la fin du siècle,
Jakob Bernoulli, au cours de recherches sur le Calcul des probabilités, se propose
n - 1
de déterminer les sommes Sk(n) = 2 pk, polynômes en n dont il découvre la
p = l
loi générale de formation (sans en donner de démon~tration)~, introduisant ainsi
pour la première fois, dans l'expression des coefficients de ces polynômes, les
nombres qui portent son nom, et la relation de récurrence qui permet de les
calculer ((II), p. 97). En 1730, Stirling obtient un développement asymptotique
pour 2 log ( x + ka), n croissant indéfiniment, avec un procédé de calcul des
k = l
coefficients par récurrence.
De 1730 à 1745 se placent les travaux décisifs d'Euler sur les séries et les
l Ce sont les primitives des a polynômes de Bernoulli >) Bk(x).
(Chapitres V et V I )
(N.B. -Les chiffres romains entre parenthèses renvoient à la bibliographie
placée à la fin de cette note.)
La distinction entre les (t infiniment petits )> (ou <( infiniment grands )>) de
divers ordres, apparaît implicitement dès les premiers écrits sur le Calcul différentiel, et par exemple dans ceux de Fermat; elle devient pleinement consciente
chez Newton et Leibniz, avec la théorie des <( différences d'ordre supérieur )>;
et on ne tarde pas à observer que, dans les cas les plus simples, la limite (ou (( vraie
valeur O ) d'une expression de la forme f (x)/g(x), en un point où f et g tendent
toutes deux vers 0, est donnée par le développement de Taylor de ces fonctions
au voisinage du point considéré (a règle de l'Hôpital H, due vraisemblablement à
Johann Bernoulli).
En dehors de ce cas élémentaire, le principal problème dy (( évaluation asymptotique qui se pose aux mathématiciens dès la fin du xvne siècle est le calcul,
exact ou approché, de sommes de la forme 2 f (k), lorsque n est très grand; un
k = l
tel calcul est en effet nécessaire aussi bien pour l'interpolation et l'évaluation
numérique de la somme d'une série, que dans le Calcul des probabilités, où
les ((fonctions de grands nombres )> telles que n! ou
jouent un rôle prépon(3
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dérant. Déjà Newton, pour obtenir des valeurs approchées de 5 - lorsque n
k = i a + k
est grand, indique une m6tliode qui revient (sur ce cas particulier) à calculer les
premiers termes de la formule d'Euler-Maclaurin (1). Vers la fin du siècle,
Jakob Bernoulli, au cours de recherches sur le Calcul des probabilités, se propose
n - 1
de déterminer les sommes Sk(n) = 2 pk, polynômes en n dont il découvre la
p = l
loi générale de formation (sans en donner de démon~tration)~, introduisant ainsi
pour la première fois, dans l'expression des coefficients de ces polynômes, les
nombres qui portent son nom, et la relation de récurrence qui permet de les
calculer ((II), p. 97). En 1730, Stirling obtient un développement asymptotique
pour 2 log ( x + ka), n croissant indéfiniment, avec un procédé de calcul des
k = l
coefficients par récurrence.
De 1730 à 1745 se placent les travaux décisifs d'Euler sur les séries et les
l Ce sont les primitives des a polynômes de Bernoulli >) Bk(x).