FVR VI.26
DEVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
Déduire de l'exerc. 12 que I'on a, pour tout entier m 2 2,
Par exemple, on a
§ 3
1) Montrer que, si f(2p+1)(t) est monotone dans l'intervalle (x, x + n + l), le reste Tp(x,n)
de la formule d'Euler-Maclaurin VI, p. 20, (formule (2)) a le même signe que le terme
et a une valeur absolue au plus égale à celle de ce terme.
Si on suppose que f ( 2 p + 2 ) est continue (mais de signe quelconque), montrer que I'on a
1
ITp(sn)l < (2j + 2)! \b"+2\ (1 f(2p+') (X + n + 1) - f(zp+l) (I)/ + j:ln+l / f(liPtai(t)ldt).
2) Démontrer la formule
*f(x) - f ( x + 1 ) + f ( x + 2 ) -...- f ( x f 2 n - 1) +$f(x-!-Zn)
avec
(appliquer la formule d'Euler-Maclaurin à g(x) = f (2x)).
3) Soit f une fonction continue ainsi que ses 2 j + 1 premières dérivées dans l'intervalle
(0, 1). Démontrer la formule
avec