3 2
EXERCICES
FVR VI.25
b) Déduire de a) que si p - 1 ne divise pas n, b,/n est entier p-adique et que l'on a
b n + p - l
bn
E - (mod. p)
n + p - 1
n
(congruences de Kummer). (Prendre pour m un entier dont la classe mod. p est un générateur du
groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/@Z (A, VII, 5 2, no 4) .)
10) Avec les notations de l'exerc. 9, montrer que les nombres mnan = mn(mn - 1) b,/n
sont entiers (écrire Fm(z) comme quotien de deux polynômes en ez). En déduire que (pour
n pair k 2) le dénominateur 6, de bn/n écrit sous forme de fraction irréductible est tel que,
pour tout entier m premier à n, on a mn = 1 (mod. 8,). En outre, si un entier d est
tel que mn = 1 (mod. d) pour tout entier m premier à n, d divise 6, (utiliser le th. de
Clausen-von Staudt et la structure du groupe multiplicatif de Z/dZ (A, VII, 9 2, no 4)).
1 1) a ) Soit p un n ~ m h r e p r ~ m i e r
f 2. Alors les propriétés süivaritesso& équivalentes: -
a) bn/n + O (mod. p) pour tout n pair tel que$ - 1 ne divise pas n.
P) bn + O(m0d.p) pourn = 2,4,6,. . .,p - 3.
(Utiliser l'exerc. 96) .)
b) On dit quep est un nombre premier régulier s'il est égal à 2 ou vérifie les conditions équivalentes de a); sinon p est dit irrégulier. Les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 sont réguliérs;
69 1 est irrégulier.
-
Soit 1 un ensemble fini de nombres premiers irréguliers. Soit n un entier 3 2 multiple de
1 1 (q - 1) et tel que 1 bn/nl > 1, (cf. VI, p. 19, formule (15)). Soit p un facteur premier du
n c T
= - -
numérateur de Ib,/nl mis sous forme irréductible. Montrer que p - 1 ne divise pas n et par
suite que p est irrégulier. En déduire que l'ensemble des nombres premiers irréguliers est
inzni.
12) Pour tout polynôme Q à coefficients réels, tel que Q(0) = Q(1), on note &la fonction
continue dans R telle que Q(x) = Q(x) pour O < x < 1 et &(x + 1) = &(x) pour tout
ER.
a) Pour tout entier m 3 2, le polynôme de Bernoulli Bm est l'unique polynôme à coefficients
réels, Q de degré m, unitaire et tel que l'on ait
Q(x) dx = 0, Q ( l ) = Q(0) et que la
fonction
soit m - 2 fois dérivable dans R et ait une dérivée (m - 2)-ème continue.
(Raisonnerparrécwrznw sur m.) - - - - - - - - - - - -
-
-
-
-
b ) Montrer que l'on a, pour m 3 1
Ji Bm(x)e- 2ntnx dx =
si n # O dans Z.
" c) Déduire de b) que, pour O < x < 1 et m 3 2, on a
la série étant normalement convergente.,
13) Soient f un entier 2 1, x une fonction définie dans Z, à valeurs complexes, telle que
~ ( x
+ f ) = ~ ( x )
pour tout x E Z. Si l'on pose
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FVR VI.25
b) Déduire de a) que si p - 1 ne divise pas n, b,/n est entier p-adique et que l'on a
b n + p - l
bn
E - (mod. p)
n + p - 1
n
(congruences de Kummer). (Prendre pour m un entier dont la classe mod. p est un générateur du
groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/@Z (A, VII, 5 2, no 4) .)
10) Avec les notations de l'exerc. 9, montrer que les nombres mnan = mn(mn - 1) b,/n
sont entiers (écrire Fm(z) comme quotien de deux polynômes en ez). En déduire que (pour
n pair k 2) le dénominateur 6, de bn/n écrit sous forme de fraction irréductible est tel que,
pour tout entier m premier à n, on a mn = 1 (mod. 8,). En outre, si un entier d est
tel que mn = 1 (mod. d) pour tout entier m premier à n, d divise 6, (utiliser le th. de
Clausen-von Staudt et la structure du groupe multiplicatif de Z/dZ (A, VII, 9 2, no 4)).
1 1) a ) Soit p un n ~ m h r e p r ~ m i e r
f 2. Alors les propriétés süivaritesso& équivalentes: -
a) bn/n + O (mod. p) pour tout n pair tel que$ - 1 ne divise pas n.
P) bn + O(m0d.p) pourn = 2,4,6,. . .,p - 3.
(Utiliser l'exerc. 96) .)
b) On dit quep est un nombre premier régulier s'il est égal à 2 ou vérifie les conditions équivalentes de a); sinon p est dit irrégulier. Les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 sont réguliérs;
69 1 est irrégulier.
-
Soit 1 un ensemble fini de nombres premiers irréguliers. Soit n un entier 3 2 multiple de
1 1 (q - 1) et tel que 1 bn/nl > 1, (cf. VI, p. 19, formule (15)). Soit p un facteur premier du
n c T
= - -
numérateur de Ib,/nl mis sous forme irréductible. Montrer que p - 1 ne divise pas n et par
suite que p est irrégulier. En déduire que l'ensemble des nombres premiers irréguliers est
inzni.
12) Pour tout polynôme Q à coefficients réels, tel que Q(0) = Q(1), on note &la fonction
continue dans R telle que Q(x) = Q(x) pour O < x < 1 et &(x + 1) = &(x) pour tout
ER.
a) Pour tout entier m 3 2, le polynôme de Bernoulli Bm est l'unique polynôme à coefficients
réels, Q de degré m, unitaire et tel que l'on ait
Q(x) dx = 0, Q ( l ) = Q(0) et que la
fonction
soit m - 2 fois dérivable dans R et ait une dérivée (m - 2)-ème continue.
(Raisonnerparrécwrznw sur m.) - - - - - - - - - - - -
-
-
-
-
b ) Montrer que l'on a, pour m 3 1
Ji Bm(x)e- 2ntnx dx =
si n # O dans Z.
" c) Déduire de b) que, pour O < x < 1 et m 3 2, on a
la série étant normalement convergente.,
13) Soient f un entier 2 1, x une fonction définie dans Z, à valeurs complexes, telle que
~ ( x
+ f ) = ~ ( x )
pour tout x E Z. Si l'on pose