FVR VI.24
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
§ 2
c) Soit p un nombre premier. Montrer que si n est divisible par fi - 1, on a Sn(p) I - 1
(rnod. fi), et si n n'est pas divisible parp - 1, Sn($) = O (rnod. p) (si@ ne divise pas l'entierg,
remarquer que Sn(@) = gnSn(p) (rnod. fi)).
6) a) Les nombres rationnels bn étant définis par la formule (20) de VI, p. 7, on note
d, le dénominateur >O de bn écrit sous forme de fraction irréductible. Montrer qu'aucun
facteur premier de dn ne peut être > n + 1 (utiliser la formule de récurrence (23) de VI, p. 8).
b) Montrer que l'on a, pour tout entier6 > O et tout entier n > O
c) Déduire de b) par récurrence sur n que, pour tout nombre premier fi le dénominateur
de Sn@) - bnp écrit SOUS forme de fraction irréductible, n'est pas divisible par fi (observer
quep'+I ne peut diviser r + 1).
d) Déduire de c) que le nombre
oùp parcourt l'ensemble des nombres premiers p < n + 1 et n est pair, est un nombre entier.
Conclure que
où p parcourt l'ensemble des nombres premiers tels que p - 1 divise Zn, est un entier
(théorème de Clausen-von Staudt; utiliser l'exerc. 5 c).
* 7) On admettra que pour tout entier a > O, il existe une infinité de nombres premiers
dans l'ensemble des entiers 1 + ma (m parcourant l'ensemble des entiers > 1 ; cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet).
a) Soit n un entier >, 1, et soit s > 1 un entier tel que q = 1 + (Zn + l ) ! s soit premier;
montrer que si p est un nombre premier tel que p - 1 divise Znq, alors fi - 1 divise nécessairement Zn (dans le cas contraire, on aurait p - 1 = qd avec d entier, et fi serait divisible
pard + 1).
b) Déduire de a) que pour tout entier n > O, il existe une infinité d'entiers m > n tels que
barn - bzn soit un entier.,
8) Montrer que, pour tout nombre premier fi > 3, S2,(pk) - pkb2n, mis sous forme de
fraction irréductible, a un numérateur divisible par pZk (raisonner comme dans I'exerc. 6).
9) Dire qu'un nombre rationnel r est un entier p-adique (TG, III, p. 84, exerc. 23) pour un
nombre premier p signifie que, lorsque r est mis sous forme de fraction irréductible, son
dénominateur n'est pas divisible par p; on écrit r = O (rnod. fi) pour exprimer que r/p est
un entier p-adique, et r = r' (rnod. p) est équivalent par définition à r' - r 2 O (rnod. fi).
m
1
a) Soit m un entier rationnel; la fonction Fm(z) = - - - est analytique pour 1 zl
emz - 1 ea - 1
assez petit et s'écrit donc sous forme de série entière convergente au voisinage de O
Zn-1
F ~ ( Z )
= nz, (mn - 1) n ( n - l)!
Montrer qu'on a aussi au voisinage de O
où les cn sont entiers p-adiques; en dkduire que les nombres an = (mn - 1) % sont entiers
p-adiques; en outre on a an+ , - , = a, (rnod. fi).
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
§ 2
c) Soit p un nombre premier. Montrer que si n est divisible par fi - 1, on a Sn(p) I - 1
(rnod. fi), et si n n'est pas divisible parp - 1, Sn($) = O (rnod. p) (si@ ne divise pas l'entierg,
remarquer que Sn(@) = gnSn(p) (rnod. fi)).
6) a) Les nombres rationnels bn étant définis par la formule (20) de VI, p. 7, on note
d, le dénominateur >O de bn écrit sous forme de fraction irréductible. Montrer qu'aucun
facteur premier de dn ne peut être > n + 1 (utiliser la formule de récurrence (23) de VI, p. 8).
b) Montrer que l'on a, pour tout entier6 > O et tout entier n > O
c) Déduire de b) par récurrence sur n que, pour tout nombre premier fi le dénominateur
de Sn@) - bnp écrit SOUS forme de fraction irréductible, n'est pas divisible par fi (observer
quep'+I ne peut diviser r + 1).
d) Déduire de c) que le nombre
oùp parcourt l'ensemble des nombres premiers p < n + 1 et n est pair, est un nombre entier.
Conclure que
où p parcourt l'ensemble des nombres premiers tels que p - 1 divise Zn, est un entier
(théorème de Clausen-von Staudt; utiliser l'exerc. 5 c).
* 7) On admettra que pour tout entier a > O, il existe une infinité de nombres premiers
dans l'ensemble des entiers 1 + ma (m parcourant l'ensemble des entiers > 1 ; cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet).
a) Soit n un entier >, 1, et soit s > 1 un entier tel que q = 1 + (Zn + l ) ! s soit premier;
montrer que si p est un nombre premier tel que p - 1 divise Znq, alors fi - 1 divise nécessairement Zn (dans le cas contraire, on aurait p - 1 = qd avec d entier, et fi serait divisible
pard + 1).
b) Déduire de a) que pour tout entier n > O, il existe une infinité d'entiers m > n tels que
barn - bzn soit un entier.,
8) Montrer que, pour tout nombre premier fi > 3, S2,(pk) - pkb2n, mis sous forme de
fraction irréductible, a un numérateur divisible par pZk (raisonner comme dans I'exerc. 6).
9) Dire qu'un nombre rationnel r est un entier p-adique (TG, III, p. 84, exerc. 23) pour un
nombre premier p signifie que, lorsque r est mis sous forme de fraction irréductible, son
dénominateur n'est pas divisible par p; on écrit r = O (rnod. fi) pour exprimer que r/p est
un entier p-adique, et r = r' (rnod. p) est équivalent par définition à r' - r 2 O (rnod. fi).
m
1
a) Soit m un entier rationnel; la fonction Fm(z) = - - - est analytique pour 1 zl
emz - 1 ea - 1
assez petit et s'écrit donc sous forme de série entière convergente au voisinage de O
Zn-1
F ~ ( Z )
= nz, (mn - 1) n ( n - l)!
Montrer qu'on a aussi au voisinage de O
où les cn sont entiers p-adiques; en dkduire que les nombres an = (mn - 1) % sont entiers
p-adiques; en outre on a an+ , - , = a, (rnod. fi).