9 2
EXERCICES
FVR VI.23
X
où les séries du second membre sont absolument convergentes, la première pour lzl < - 2
et la seconde pour 1 zl < (exprimer tg z et Ilsin 22 comme combinaisons linéaires de cotg z
22n(22n - 1)
et cotg 22). En déduire que les nombres
bzn sont entiers. (On utilisera le lemme
2 n
5 .
suivant: si, dans deux séries absolument convergentes 5 4 -3 =, Pn les coefficients
n = o
n!
zn
mn et pn sont entiers, dans leur produit écrit sous la forme zo y, i $ les y, sont entiers.)
n.
2) Démontrer la formule
(dériver la série Sesx/(es - 1) par rapport à S). En déduire la formule
pour les nombres de Bernoulli.
3) Démontrer, pour tout entier4 > 1, la formule
4) a) Démontrer la relation
Bn(l - X) = (- l)nB,(X)
(utiliser le fait que bzn -, = O pour n > 1, et la relation
B,(1 - X) - B,(-X) = ( - l)%Xn-l.)
b) Montrer qu'on a
(utiliser l'exerc. 3).
c ) Montrer que, pour n pair, Bn(X) a deux racines dans l'intervalle (O, 1) de R, et que, pour n
impair > 1, B,(X) a une racine simple aux points O, -$ et 1, et ne s'annule en aucun autre
point de (O, 1) (utiliser b) et la relation BL = nBn- ,).
d) Déduire de c) que, pour n pair, le maximum de IBn(x) 1 dans l'intervalle (0, 1) est égal à
Ibn[, et que pour n impair, si an est le maximum de IB,(x) 1 dans (O, l), on a
(utiliser le th. des accroissements finis).
1
5 ) Si l'on pose Sn(x) = - (B, + ,(x) - B, + 1(0)), on a, pour tout entier a > O
n f 1
a) Montrer que pour tout entier n 2 O et tout entier a > O, on a 2Szn+,(a) = O (mod. a)
(considérer la somme kZn + l -t (a - k)2n + l) .
b) Si Y et s sont deux entiers O quelconques, montrer que