Exercices
1) Soient K un corps de caractéristique 0, U et V deux opérateurs de composition dans
K[X], et W = VU = UV; soient (un), v,), (w,) les suites de polynômes d'Appel1 correspondant respectivement à U, V, W. Démontrer que, sip est l'ordre de U, on a
2) Soit E l'espace vectoriel sur C engendré par les fonctions xn (n E N), eh* ( 1 E C, A # O) et
IX + 4 (P E R).
a) Montrer que les fonctions précédentes forment une base de E.,
b) Soit U l'opérateur de composition défini dans E par les conditions: U$(tn) = (n!)2,
U(ehx) = ehx pour h # O, U(lx + pl) = lx + pl pour p E R. L'indicatrice u(h) est la
constante 1, mais la série de terme général n!hn n'est convergente pour aucune valeur
h # O.
c) Soit V l'opérateur de composition défini dans E par les conditions V(xn) = xn, V(lx + pl)
= IX + pl, V(ehx) = O pour 1 + 0; l'indicatrice v(h) est égale à 1 pour h = 0, à O pour
mi
A # O, et est donc distincte de la somme de la série 2 cr,hn, où CL, = Vg(p).
n = O
d ) Soit W l'opérateur de composition défini dans E par
W(xn)=xn,W(ehx)=ehX, W ( ( x + p I ) = e x + " ;
montrer que l'on a VW # WV.
3) Soit K un corps de caractéristique 0. On dit qu'un endomorphisme U de l'algèbre
K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées X, Y sur K est un opérateur de composition
si, pour tout polynôme f E K[X, Y], on a, en posant g = U(f), g(X + S, Y + T)
= Ux, f (X + S, Y f T)), S et T étant deux autres indéterminées.
a) Généraliser à ces opérateurs la prop. 1 et le th. 1. En déduire une nouvelle démonstration
de la formule es + = eSeT.
b) Pour les opérateurs de composition de la forme DED@(Dx, Dy), où le terme constant de
la série formelle u n'est pas nul, définir les polynômes d'Appel1 un,, et généraliser les prop.
4,5et6 deV1,p. 5 e t 6 .
c) On considère en particulier l'opérateur de composition U défini par U( f (X, Y)) =
f (X + 1, Y + 1) - f (X ,Y + 1) - f (X + 1, Y) + f (X, Y); on appelle polynômes de
Bernoulli et on note B,, , les polynômes d'Appel1 correspondant à cet opérateur. Montrer
que l'on a B,, .(X, Y) = B, (X)Bn(Y).
§ 2
1) Démontrer les formules
1) Soient K un corps de caractéristique 0, U et V deux opérateurs de composition dans
K[X], et W = VU = UV; soient (un), v,), (w,) les suites de polynômes d'Appel1 correspondant respectivement à U, V, W. Démontrer que, sip est l'ordre de U, on a
2) Soit E l'espace vectoriel sur C engendré par les fonctions xn (n E N), eh* ( 1 E C, A # O) et
IX + 4 (P E R).
a) Montrer que les fonctions précédentes forment une base de E.,
b) Soit U l'opérateur de composition défini dans E par les conditions: U$(tn) = (n!)2,
U(ehx) = ehx pour h # O, U(lx + pl) = lx + pl pour p E R. L'indicatrice u(h) est la
constante 1, mais la série de terme général n!hn n'est convergente pour aucune valeur
h # O.
c) Soit V l'opérateur de composition défini dans E par les conditions V(xn) = xn, V(lx + pl)
= IX + pl, V(ehx) = O pour 1 + 0; l'indicatrice v(h) est égale à 1 pour h = 0, à O pour
mi
A # O, et est donc distincte de la somme de la série 2 cr,hn, où CL, = Vg(p).
n = O
d ) Soit W l'opérateur de composition défini dans E par
W(xn)=xn,W(ehx)=ehX, W ( ( x + p I ) = e x + " ;
montrer que l'on a VW # WV.
3) Soit K un corps de caractéristique 0. On dit qu'un endomorphisme U de l'algèbre
K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées X, Y sur K est un opérateur de composition
si, pour tout polynôme f E K[X, Y], on a, en posant g = U(f), g(X + S, Y + T)
= Ux, f (X + S, Y f T)), S et T étant deux autres indéterminées.
a) Généraliser à ces opérateurs la prop. 1 et le th. 1. En déduire une nouvelle démonstration
de la formule es + = eSeT.
b) Pour les opérateurs de composition de la forme DED@(Dx, Dy), où le terme constant de
la série formelle u n'est pas nul, définir les polynômes d'Appel1 un,, et généraliser les prop.
4,5et6 deV1,p. 5 e t 6 .
c) On considère en particulier l'opérateur de composition U défini par U( f (X, Y)) =
f (X + 1, Y + 1) - f (X ,Y + 1) - f (X + 1, Y) + f (X, Y); on appelle polynômes de
Bernoulli et on note B,, , les polynômes d'Appel1 correspondant à cet opérateur. Montrer
que l'on a B,, .(X, Y) = B, (X)Bn(Y).
§ 2
1) Démontrer les formules