No 2
RESTE DE LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN
FVR VI.21
(V, p. 22, prop. 7). Soit@ un entier tel qu'aucune des dérivées
d'ordre h 6 2p
ne soit équivalente à une constante. Supposons d'abord que la série de terme
général g(n) ait une somme infinie, et distinguons plusieurs cas :
1" Ig(2p-i)(n) 1 tend vers +co avec n; il en est de même, en vertu de l'hypothèse, de Ig(2k-i)(n) 1 pour 1 < k 6 @; en outre comme g(2pii) est monotone au
voisinage de + co, la formule (4) de VI, p. 20, donne Tp(O, n) = 0(g(2P)(n + 1)) =
~(g(~P-l)(n + 1)) ; la formule d'Euler-Maclaurin, appliquée pour x = O, montre
que
chacun des termes de cette somme étant négligeable devant le précédent; en
développant chacun d'eux par rapport à une échelle de comparaison 8, on aura
donc un développement asymptotique de sn.
2 O Supposons maintenant que pour un indice q tel que 1 < q < p, lg@q-l)(n) 1
tend vers + co avec n, mais que g(2k-1)(n) tende vers O pour k > q. Comme
g@@+l) est monotone au voisinage de +CO, l'intégrale J," Ig(2p+1)(~)ld~ est
convergente, et on peut alors écrire
où C est une constante: on a en effet
La même formule est valable lorsque g(n) elle-même tend vers O. Enfin,
lorsque la série de terme général g(n) est convergente, on a, pour le reste
Co
rn =
g(m), le développement
m = n + l