FVR VI.20
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
$3. MAJORATION DU RESTE DE LA FORMULE
D'EULER-MACLAURIN
1. Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin
La majoration obtenue dans (16) pour les polynômes de Bernoulli dans
l'intervalle (0, 1) permet de majorer aisément le reste Tp(x, n) de la formule
d'Euler-Maclaurin (IV, p. 14, formule (39))
On a en effet (VI, p. 14, formule (41))
où B,, + , (t) est la fonction périodique de période 1 égale à B,, + , (t) dans l'intervalle (0, l(. La formule (1 6) de VI, p. 19, montre que
pour tout t E R, et l'application de la formule de la moyenne donne pour T,(x, n)
la majoration
1 f (2p+1)(t) 1 dt.
2. Application aux développements asymptotiques
La formule d'Euler-Maclaurin permet de donner une solution plus complète
(dans les cas les plus importants) au problème traité dans V, p. 28 à 32, consistant
à obtenir un d6veloppement asymptotique de la somme partielle sn = 2 g(m)
m = O
(resp. du reste rn =
g(m)), où g est une fonction numérique > O et monom = n + l
tone définie dans un intervalle (xo, +CO(. Nous allons nous borner au cas où g
est une fonction (H) (V, p. 41), d'ordre 0 par rapport à ex; autrement dit, on a la
relation g' « g; de cette relation, on déduit g(k+l) « g(-) pour tout entier k > O tel
qu'aucune des dérivées gCh) d'ordre h 6 k ne soit équivalente à une constante