No 3
DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS
FVR VI.19
la série du second membre étant absolument convergente. Nous allons en déduire
que la série G double O
est absolument convergente dans le disque ouvert 1 zl < z, normalement conuergente dans tout
1
ensemble compact contenu dans ce disque, et a pour somme cotg z - -. En effet, pour
Z
IzI 6 a < n, la valeur absolue du terme général dc (11) est au plus égale à
2a2k-1/n2k~2k, et la somme d'une nombre fini quelconque de termes 2a2" 1/n2k~zk
2a
est inférieure au nombre fini 2 - - en sommant d'abord par rapport
n = l n2n2 - aZy
à k, puis par rapport à TL, on voit que la somme de la série (1 1) est égale à
22
, ,, ce qui démontre notre assertion.
n = ï z2 - n x
Si maintenant on somme la série (1 l), d'abord par rapport à n, puis par rapport à k, on a l'identité (pour Izl < n)
* 1
où on a posé Sk = 2 - - D'après (1) (VI, p. 15), on a donc, pour jrl < 2~
n = l nk
d'où la formule
(14)
b2n = ( - 1)n-1(2n!) - 2S2n
(2n)
pour n 3 1,
formule qui montre en particulier que les nombres S2,/nZn sont rationnels. On a
évidemment Sk+, 6 S,, donc, pour tout k entier 3 2, on a Sk 6 S2 = n2/6 6 2;
on tire donc de (14) les inégalités suivantes pour les nombres de Bernoulli
De ces inégalités on peut tirer une majoration du polynôme de Bernoulli
Ba(%) = z0 (3 bkxn-k; en particulier, pour O < x 6 1, on a