FVR VI.18
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
5 2
kn
sin2z -- sin",
et, d'après (3) (VI, p. 15)
n
fi . kn n
s1n2 - = - 2n- ', d'où, en remplaçant z par z/n
k = l
n
i n
Z
On peut écrire cette formule sin z = n sin - n (1 - ~ ( n ,
z)), avec wk(n, z) = O
n i c = i
L.
sin2 - n
pour k > m, et wk(n, z) = - pour 1 < k < m. Nous allons voir que pour
klr
sin2 - n
tout z contenu dans une partie compacte K de C et pour tout n impair, la série
de terme général wk(n, z) est normalement convergente. En effet, lorsque n tend vers
Z
+CO, n sin - tend uniformément vers z dans Ky donc il existe M > O tcl que
n
1 n sin $1 < M pour tout entier m et tout r E K. Nous avons vu d'ailicurs dans la
I
. kïc
kn
démonstration du th. 1 de VI p. 17, que pour 1 < k ,< m on a n sin - 2 -;
n
2
donc, pour tout entier k tel que kn/2 3 M, on a Iwk(n, z) 1 a 4M2/k2n2, CC qui
démontre notre assertion. Comme pour tout k fixe, wk(n, z) tend (uniformément
dans K) vers z2/k2n2 lorsque n tend vers + CO, on voit que :
THÉORÈME 2. - Pour tout nombre complexe z, on a
m
z2
sin z = z rI (1 - -)
n = l
n2n2
le produit injni du second membre étant absolument et uniformément convergent dans toute
partie compacte de C (développement eulérien de sin z) .
3. Application aux n~rnbres de Bernoulli
Le th. 1 de VI, p. 17, montre que, pour O < x < TC, la série de terme général
2x
2 O est convergente. On peut d'autre part écrire, pour tout nombre
n2x2 - x2
complexe z tel que 1 zl < n,