No 2
DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS
FVR VI. 17
l
2
2n tg(7)
n
cotg z = - 2 + k = l
n tg -
cos2 - n tg -
n
k x (
n
- (nsin?)'
valable pour tout nombre complexe z non multiple entier de x/2. On peut
1
a,
écrire cette formule sous la forme cotg z = 7 + 1 vk(n, z) avec vk(&?, z) =
n t g -
k = l
n
n
O pour k > m et vk(n, z) =
k x (
) ( . ) pOurl""m.
cos2 - n tgn sin -
n
Nous allons voir que pour tout z contenu dans une partie compacte K de C
ne contenant aucun multiple entier de x, et pour tout n impair assez grand, la
sdrie de terme général vk(n, z) est normalement convergente. En effet, lorsque n tend
Z
vers +a, nt g z tend vers - uniformément dans K, donc il existe un nombre
n
M > O tel que n tg- < M pour tout entier m assez grand et tout z é K.
I : l
X"
D'autre part, pour O < x < n/2, on a sin x/x d 1 - 3 +, donc pour
kx
1 < k < m, on a n sin - 2 kx/2; par suite, dès que m est assez grand,
n
pour tout entier k tel que kn/2 > M, on a luk(n, Z) 1 <
8M
4M2, ce qui
k2n2 -
démontre notre assertion. Pour tout k fixe, vk(n, z) tend (uniformément dans K)
vers
2z lorsque n tend vers + m. Par suite:
z 2 - k x
THÉORÈME 1. - Pour tout nombre complexe z distinct d'un multiple entier de x, on a
1
cotg z = - + 2
22
z
n = 1 z2 - n2x2
la série du second membre étant normalement convergente dans tout ensemble compact K c C
ne contenant aucun multiple entier de x (développement eulérien de cotg z) .
2. Développement eulérien de sin z
Pour tout entier impair n = 2m + 1 et tout z complexe, la formule (2) de VI,
p. 15, peut s'écrire
m fi-1 fi sin (z - $1
sin nz = ( - 1) 2
k = - m
= ( - 1)my-l sin z fi sin (. - F) sin ( z + 3.
k = 1