FVR VI. 16
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
§ 2
Il suffit en effet de diviser les deux membres de (2) par sin z et de faire tendre z
vers O.
COROLLAIRE 2. - Pour tout entier impair n = 2m + 1, et tout nombre complexe z tel
que nz ne soit pas multiple entier de x, on a
(n - 1)n
(4)
cotg nz = ( - 1)" cotg z cotg (z + :
) . . .cotg (2 +
1.
x
En effet, on a sin n
= ( - l)mcos nz, d'où,
7'c
en remplaçant z par z + - dans (2)
2
(n - 1)x
( 5 )
c o s n z = ( - l ) ~ ~ ~ ~ ~ c o s ~ c o s ( z + ~ )
... c o s ( z +
n
et les formules (2) et (5) donnent (4) par division membre à membre lorsque
sin nz # 0.
Dans tout ce qui suit, nous supposerons toujours que n = 2m + 1 est un
entier impair; la formule (4) peut aussi s'écrire
kn
1 + t g z t g - n
kn
n
pour tg z fini; par rapport à u = tg z, cotg nz est donc une fraction rationnelle
dont le numérateur est de degré n - 1 et dont le dénominateur, de degré n, a les
n racines simples tg kxln; en décomposant cette fraction en éléments simples, il
vient
cotg nz = 3
A k
k = - m
kn
u - tg- n
avec
A, = lim cotgnz.
a-rknln
kn
COS Z COS -
n
-.
cos nh
sin h
1
d'où, en mettant à part dans (6) le terme correspondant à k = O, en réunissant
les termes correspondant à des valeurs opposées de k, et en remplaçant z par zln,