No 1
DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS
FVR VI.15
La formule (39) est dite formule sommatoire d'Euler-Maclaurin; elle est applicable
à toute fonction complexe ayant une dérivée (2p + 1)-ème continue dans un
intervalle (x,, +a(, pour tout x > x,. Nous verrons (VI, p. 20) comment on
peut majorer le reste T,(x, n) de cette formule.
tj 2. DI~VELOPPEMENTS EULERIENS DES FONCTIONS
TRIGONOMÉTRIQUES ET NOMBRES DE BERNOULLI
1. Développement eulérien de cotg z
D'après la formule (20) de VI, p. 7, les nombres bn/n! sont les coefficients du
développement en série formelle de S/(eS - 1); nous allons démontrer dans ce
paragraphe que la fonction z/(eZ - 1) est égale à la somme d'une série entière
absolument convergente dans un voisinage de O dans C; il résultera du lemme
de VI, p. 12, que les coefficients de cette série seront les nombres b,/n!, d'où
nous déduirons des majorations pour les nombres de Bernoulli b, .
Notons en premier lieu qu'on a
Nous allons obtenir dans ce qui suit un développement en série de cotg z,
valable pour tout z distinct d'un multiple entier de n.
PROPOSITION 1. - Pour tout nombre complexe z et tout entier n, on a
En effet, on peut écrire
eniz - e - n i ~
- niz 2niz -
sin nz =
- -
(e
1)
2i
2 i
(n - 1)x
= A sin r sin ( z + :
) . . . sin (z + n
COROLLAIRE 1. - Pour tout entier n, on a
x
. 2x
(n - 1)x
n
sin - sin - . . . sin
= --.
n
n
n
p - 1