FVR VI. 14
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
et la formule (27) de VI, p. 10, devient, pour h = 0
7. La formule çommatoire d'Euler-Maclaurin
Dans la formule (35) de VI, p. 12, remplaçons x par 0, et h par x; comme B,(O) =
b, , il résulte des relations (24) de VI, p. 8, qu'on peut écrire, pour tout entier
P > O
avec
(38)
R,(x) = - (2p i l ) ! lo1
B,, + ,(t) f (2"+1) ( X + 1 - t ) dt.
Dans cette formule, remplaçons successivement x par x + 1, x + 2, . . . , x + n,
et ajoutons les formules obtenues membre à membre; il vient
( f ( x ) + f ( x + 1) + e . 0 + f ( x + n)
avec
(40) T p ( x , n) = - (2p : l ) ! Io1
B,,,,(t)
(5 f(2p+1)(x + k + 1 - t ) ) dt.
k=O
Le reste T,(x, n) de cette formule peut encore s'écrire de la façon suivante:
désignons par B,, + , (t) la fonction périodique de période 1, égale à B,, + , (t) dans
l'intervalle (0, 1 (. On a alors
et par suite