DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.13
* 3) Soit E l'espace vectoriel des fonctions f définies et continues dans R, telles en
outre que l'intégrale j+ f (x + c)e-k212 de soit convergente pour tout x 2 0.
L'opérateur Udéfini par
est donc défini dans E et est évidemment un opérateur de composition. L'espace E
contient toutes les exponentielles ehX (A complexe quelconque), et on a
(cf. III, p. 28, exerc. 24, et VII, p. 9, formule (22)). On a n!an = @(En) =
1
- , p & J-x e-kzi2 end<. Pour tout entier n, on peut écrire
La série$oe-E2@
peut donc être intégrée terme à terme dans R (II, p. 22)
n!
w
cor. l), ce qui prouve que la série 2 cinAn converge absolument pour tout À E C,
n = o
m
Azn
et a une somme égale à u(A) = eA212 = 2 -; l'opérateur U est donc régulier.
n=02nn!
L'application du lemme énoncé ci-dessus montre que cizn = 1/2nn!, azn+l = O
pour tout n 3 0; l'opérateur U est donc d'ordre 0. On a
la série étant absolument convergente pour tout A E C; une nouvelle application du
w
2n)'
An
( - l ) L pz, , , = O; en outre, la série C - un(x) est
lemme montre que p2, = - Zn n!
n = o n !
absolument convergente pour tout A E C et tout x E R, et on a
En appliquant la formule de Taylor à la fonction exp (-x2I2), on obtient donc
l'expression suivante des polynômes un(x) ;
Ce polynôme est appelé polynôme d'Hermite de degré n, et se note le plus souvent
Hn(x). Les formules (7), (8) et (9) de VI, p. 5, donnent ici