FVR VI. 12
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
5 1
Remarque. - O n peut utiliser l a formule (33) (resp. (34)) pour le calcul des Pn
(resp. des un(x)) en utilisant le lemme suivant d e la théorie des séries entières:
Lemme. - Si deux s&es entiires 2 cnhn JO dnAn sont absolument convergentes pour tout h
dans un uoisinage de O, et si on a & cnAn = f dnAn gour ces valeurs de A, alors cn = d,
n=O
n=O
gour tout entier n 2 O1.
Si, par u n procédé quelconque, on peut obtenir une série entière convergente
égale à hP/u(A) dans u n voisinage de O, les coefficients d e cette série sont nécessairement égaux aux pn. C'est ce procédé que nous allons appliquer dans les exemples qui
suivent.
Exemples. - 1) Si U est l'application identique, on a u(h) = 1, et l'opérateur U
est évidemment régulier; comme un(x) = xn, la formule (27) de VI, p. 10,
s'écrit, en posant t = 6 - 7
c'est-à-dire se réduit à la formule de Taylor (II, p. 12).
2) Prenons pour U l'opérateur de composition qui, à toute fonction f définie
dans R,, fait correspondre la fonction x t+ f (x + 1) - f (x) ; on a donc
nous avons vu (VI, p. 7) que la restriction de U à C[X] est égale à eD - 1.
Comme d'autre part u(h) = eh - 1, l'opérateur U est régulier; nous verrons
(VI, p. 19) comment on peut déterminer les nombres de Bernoulli b, en calculant
h
un développement en série entière convergente de -
-
En appliquant la
eh - 1
formule (27) de VI, p. 10, à uneprimitive de la fonctionf, il vient
avec
1 Ce lemme est un cas particulier d'un résultat général que nous démontrerons plus tard; en
m
voici la démonstration. Si une série entière 2 c,An est absolument convergente pour A = Ao, pour
n = O
m
tout entier k > O la série 2 c,, , An est normalement convergente pour 1 1 1 < Ihol, donc est continue
n = o
m
dans ce disque (TG, X, p. IO); on en conclut que 2 c,An = o(Ak) au voisinage de O. Le lemme
n = k + l
résulte alors de l'unicité des coefficients du développement asymptotique d'une fonction suivant
les An (V, p. 12).
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
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Remarque. - O n peut utiliser l a formule (33) (resp. (34)) pour le calcul des Pn
(resp. des un(x)) en utilisant le lemme suivant d e la théorie des séries entières:
Lemme. - Si deux s&es entiires 2 cnhn JO dnAn sont absolument convergentes pour tout h
dans un uoisinage de O, et si on a & cnAn = f dnAn gour ces valeurs de A, alors cn = d,
n=O
n=O
gour tout entier n 2 O1.
Si, par u n procédé quelconque, on peut obtenir une série entière convergente
égale à hP/u(A) dans u n voisinage de O, les coefficients d e cette série sont nécessairement égaux aux pn. C'est ce procédé que nous allons appliquer dans les exemples qui
suivent.
Exemples. - 1) Si U est l'application identique, on a u(h) = 1, et l'opérateur U
est évidemment régulier; comme un(x) = xn, la formule (27) de VI, p. 10,
s'écrit, en posant t = 6 - 7
c'est-à-dire se réduit à la formule de Taylor (II, p. 12).
2) Prenons pour U l'opérateur de composition qui, à toute fonction f définie
dans R,, fait correspondre la fonction x t+ f (x + 1) - f (x) ; on a donc
nous avons vu (VI, p. 7) que la restriction de U à C[X] est égale à eD - 1.
Comme d'autre part u(h) = eh - 1, l'opérateur U est régulier; nous verrons
(VI, p. 19) comment on peut déterminer les nombres de Bernoulli b, en calculant
h
un développement en série entière convergente de -
-
En appliquant la
eh - 1
formule (27) de VI, p. 10, à uneprimitive de la fonctionf, il vient
avec
1 Ce lemme est un cas particulier d'un résultat général que nous démontrerons plus tard; en
m
voici la démonstration. Si une série entière 2 c,An est absolument convergente pour A = Ao, pour
n = O
m
tout entier k > O la série 2 c,, , An est normalement convergente pour 1 1 1 < Ihol, donc est continue
n = o
m
dans ce disque (TG, X, p. IO); on en conclut que 2 c,An = o(Ak) au voisinage de O. Le lemme
n = k + l
résulte alors de l'unicité des coefficients du développement asymptotique d'une fonction suivant
les An (V, p. 12).