No 6
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.11
en posant u(A) = U,S(ehS). On dit que la fonction u(A), définie dans C et à
valeurs complexes, est l'indicatrice de l'opérateur de composition U. On notera que,
si la restriction de U à l'anneau C[X] des polynômes est égale à la série
(VI, p. 4, th. 1) (que nous avons notée u(D) dans VI, p. 4), la série à termes
complexes dont le terme général est
n'est pas nécessairement convergente pour
A # O, et que, même si elle converge pour certaines valeurs de A, sa somme n'est
pas nécessairement égale à l'indicatrice u(h) de U (VI, p. 22, exerc. 2). Nous dirons que
l'opérateur de composition U est régulier s'il existe un vaisinage de O dans C-tel
-
-
-
que la série de terme général çcnAn+" soit absolument convergente et ait une somme
égale à l'indicatrice u(h) dans ce voisinage1.
Appliquons la formule (27) de VI, p. 10, à la fonction eh", en faisant h = O;
comme Dm(ehx) = Amehx, on a U$(Dm(eh") = Amu(A); il vient donc, pour tout
h complexe tel que u(A) # O
et en particulier, pour x = O
avec p , = u,(O).
Si U est un opérateur régulier, pour tout A E C tel que les séries entières u(A) =
m
ln soient absolument conriergenies2, i l dssultede-la formule
2 g,hntp et n = o p4 3
n = O
(16) et de la formule donnant le produit de deux séries absolument convergentes
(TG, VIII, p. 16, prop. 1) que l'on a
De même, puisque le développement en série de Taylor de ehx est absolument
convergent pour tout A E C et tout x E C (III, p. 15) on a aussi (formules (6)
(VI, p. 5) et (16) (VI, p. 6), pour toutes les valeurs considérées et pour tout x E 6;
1 Nous ferons plus tard l'étude des séries dont le terme général est de la forme cnzn (en E C , z E C ) ,
qu'on appelle séries entières; on verra en particulier que lorsqu'une telle série est absolument convergente pour z = zo, elle est normalement convergente pour 1 zl < ] z,].
a Il résulte de la théorie des séries entières que lorsque l'une de ces séries est absolument convergente dansunvoisinage vdel), l'autrexst absalumentronvergente daas un voisinage-W
V d e 4
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.11
en posant u(A) = U,S(ehS). On dit que la fonction u(A), définie dans C et à
valeurs complexes, est l'indicatrice de l'opérateur de composition U. On notera que,
si la restriction de U à l'anneau C[X] des polynômes est égale à la série
(VI, p. 4, th. 1) (que nous avons notée u(D) dans VI, p. 4), la série à termes
complexes dont le terme général est
n'est pas nécessairement convergente pour
A # O, et que, même si elle converge pour certaines valeurs de A, sa somme n'est
pas nécessairement égale à l'indicatrice u(h) de U (VI, p. 22, exerc. 2). Nous dirons que
l'opérateur de composition U est régulier s'il existe un vaisinage de O dans C-tel
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que la série de terme général çcnAn+" soit absolument convergente et ait une somme
égale à l'indicatrice u(h) dans ce voisinage1.
Appliquons la formule (27) de VI, p. 10, à la fonction eh", en faisant h = O;
comme Dm(ehx) = Amehx, on a U$(Dm(eh") = Amu(A); il vient donc, pour tout
h complexe tel que u(A) # O
et en particulier, pour x = O
avec p , = u,(O).
Si U est un opérateur régulier, pour tout A E C tel que les séries entières u(A) =
m
ln soient absolument conriergenies2, i l dssultede-la formule
2 g,hntp et n = o p4 3
n = O
(16) et de la formule donnant le produit de deux séries absolument convergentes
(TG, VIII, p. 16, prop. 1) que l'on a
De même, puisque le développement en série de Taylor de ehx est absolument
convergent pour tout A E C et tout x E C (III, p. 15) on a aussi (formules (6)
(VI, p. 5) et (16) (VI, p. 6), pour toutes les valeurs considérées et pour tout x E 6;
1 Nous ferons plus tard l'étude des séries dont le terme général est de la forme cnzn (en E C , z E C ) ,
qu'on appelle séries entières; on verra en particulier que lorsqu'une telle série est absolument convergente pour z = zo, elle est normalement convergente pour 1 zl < ] z,].
a Il résulte de la théorie des séries entières que lorsque l'une de ces séries est absolument convergente dansunvoisinage vdel), l'autrexst absalumentronvergente daas un voisinage-W
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