FVR VI. IO
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
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Nous désignerons encore par un les polynômes d'Appel1 attachés à l'opérateur
U. Au développement taylorien généralisé d'un polynôme (VI, p. 6, formule
(13)) correspond, pour des fonctions plus générales, le résultat suivant:
THÉOXÈME 2. - Soit f une fonction admettant une dérivée (n + 1)-ème continue dans 1,
et appartenant à E ainsi que toutes ses dérivées f (") pour 1 < m < n. Si U est un opérateur
de composition d'ordrep 6 n dans E, on a, pour x 2 O et h > O
(développement taylorien généralisé).
Considérons l'intégrale
- un(. + r) f(n*l) (F - ?)dï, définie pour
tout E E 1, et appliquons-lui Ia formule d'intégration par parties d'ordre n (II,
p. 10, formule (1 1)) ; en tenant compte des relations
déduites de (7) (VI, p. 5) par récurrence, il vient
Appliquons l'opérateur U aux deux membres de la formule (29), considérés
comme fonctions de 5, puis prenons la valeur de la fonction obtenue pour la
valeur h de la variable 5; en remarquant que, d'après les formules (26) (VI, p. 9)
et (9) (VI, p. 5), on a
O pour m # p
uh(~,(E - h)) = U,S(u,(F)) =
Our m = p
on obtient finalement la formule (27).
6. Indicatrice d'un opérateur de coanipositioaa
Les hypothèses étant les mêmes que dans le no 5, la formule (26) de VI, p. 9,
appliquée à la fonction ehx, donne
(30)
Uz(ehS) = U$(e"ehS) = ehxU$(ehS) = u(A)ehx