No 5
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.9
O n en déduit pour expression des premiers polynômes de Bernoulli
5. Opérateurs de composition sur les fonctions d'une variable réelle
Soit 1 un intervalle de R contenant l'intervalle R, = (O, + co(; soit E un espace
vectoriel sur le corps C, formé de fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes, définies dans 1. Nous qpposerons que, pour-tout a 2-0 et toute fmction
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f~ EJ lafonction x H ~ ( X + a) appartient à E; en outre, nous supposerons que E
contient les restrictions à 1 des polyndmes à coejicients complexes et des exponentielles
ehx, où A est un nombre complexe quelconque. Nous appellerons opérateur dans E
toute application linéaire U de E dans l'espace de toutes les applications de 1 dans
le corps C des nombres complexes; si f E E et g = U( f ) , il sera commode d'utiliser la notation
d x ) = UXf(S))
< étant donc une variable muette dans le symbole fonctionnel du second membre
(cf. II, p. 9). Pour tout a 2 0, l'opérateur qui, à toute fonction f E E, associe la
restriction à 1 de la fonction x » f (x + a), est appelé l'opérateur de traîzslationpar a.
DÉFINITION 3. - On dit qu' un opérateur U dans E est un opérateur de composition si,
pour tout a à O, il estpermutable avec l'opérateur de translation par a.
- Avee la-notatbnintroduitë ci-dessus, cette définition se traduit p a r l'rdentité
en x et a (x E 1, a 2 0)
Dans cette identité, on peut échanger les rôles de x et a si x à O, puis faire a = 0;
on obtient ainsi, pour tout x 2 0.
(26)
Wf (9) = UCxf (F + 4)
U, étant la forme linéaire sur E qui, à toute fonction f E E, fait correspondre la
valeur g(0) de g = U ( f ).
1
Si f est un polynôme, on a f ([ + x) = 2 - f(X)(<)+, et la formule (26)
~ c = o k !
montre donc que U( f ) est un polynôme; restreint à l'ensemble des polynômes
en x, à coefficients dans C (ensemble qu'on peut identifier à l'algèbre C[X]),
l'opérateur U est donc un opérateur de composition au sens de la déf. 1 de VI,
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p; 2,et tous les résultats~desnümérosprécéde~s lui sont applicables.
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.9
O n en déduit pour expression des premiers polynômes de Bernoulli
5. Opérateurs de composition sur les fonctions d'une variable réelle
Soit 1 un intervalle de R contenant l'intervalle R, = (O, + co(; soit E un espace
vectoriel sur le corps C, formé de fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes, définies dans 1. Nous qpposerons que, pour-tout a 2-0 et toute fmction
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f~ EJ lafonction x H ~ ( X + a) appartient à E; en outre, nous supposerons que E
contient les restrictions à 1 des polyndmes à coejicients complexes et des exponentielles
ehx, où A est un nombre complexe quelconque. Nous appellerons opérateur dans E
toute application linéaire U de E dans l'espace de toutes les applications de 1 dans
le corps C des nombres complexes; si f E E et g = U( f ) , il sera commode d'utiliser la notation
d x ) = UXf(S))
< étant donc une variable muette dans le symbole fonctionnel du second membre
(cf. II, p. 9). Pour tout a 2 0, l'opérateur qui, à toute fonction f E E, associe la
restriction à 1 de la fonction x » f (x + a), est appelé l'opérateur de traîzslationpar a.
DÉFINITION 3. - On dit qu' un opérateur U dans E est un opérateur de composition si,
pour tout a à O, il estpermutable avec l'opérateur de translation par a.
- Avee la-notatbnintroduitë ci-dessus, cette définition se traduit p a r l'rdentité
en x et a (x E 1, a 2 0)
Dans cette identité, on peut échanger les rôles de x et a si x à O, puis faire a = 0;
on obtient ainsi, pour tout x 2 0.
(26)
Wf (9) = UCxf (F + 4)
U, étant la forme linéaire sur E qui, à toute fonction f E E, fait correspondre la
valeur g(0) de g = U ( f ).
1
Si f est un polynôme, on a f ([ + x) = 2 - f(X)(<)+, et la formule (26)
~ c = o k !
montre donc que U( f ) est un polynôme; restreint à l'ensemble des polynômes
en x, à coefficients dans C (ensemble qu'on peut identifier à l'algèbre C[X]),
l'opérateur U est donc un opérateur de composition au sens de la déf. 1 de VI,
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p; 2,et tous les résultats~desnümérosprécéde~s lui sont applicables.