FVR VI.30
NOTE HISTORIQUE
la théorie des séries. Ce n'est guère qu'avec l'apparition des développements
asymptotiques provenant de la théorie analytique des nombres que s'est enfin
opérée la distinction nette entre la notion de développement asymptotique et celle
dc série, en raison du fait que, dans la plupart des problèmes que traite cette
théorie, on ne peut obtenir explicitement qu'un très petit nombre de termes (le
plus souvent un seul) du développement cherché.
Ces problèmes ont aussi familiarisé les mathématiciens avec l'usage d'échelles
de comparaison autres que celle des puissances de la variable (réelle ou entière).
Cette extension remonte surtout aux travaux de P. du Bois-Reymond (VII) qui,
le premier, aborda systématiquement les problèmes de comparaison des fonctions
au voisinage d'un point, et, dans des travaux très originaux, reconnut le caractère
(< non archimédien des échelles de comparaison, en même temps qu'il étudiait
de façon générale l'intégration et la dérivation des relations de comparaison, et
en tirait une foule de conséquences intéressantes (VI1 b). Ses démonstrations
manquent toutefois de clarté et de rigueur, et c'est à G. H. Hardy (IX) que revient
la présentation correcte des résultats de du Bois-Reymond: sa contribution
principale a consisté à reconnaître et démontrer l'existence d'un ensemble de
a fonctions élémentaires )>, les fonctions (H), où les opérations usuelles de l'Analyse (notamment la dérivation) sont applicables aux relations de comparaison1.
Il n'entrait pas dans notre propos de développer dans ces chapitres les méthodes qui permettent
d'obtenir des développements asymptotiques de fonctions se classant dans certaines catégories particulières, comme par exemple certains types d'intégrales dépendant d'un paramètre, qui interviennent fréquemment en Analyse; sur ce point (et. en particulier sur les importantes mtthodes de
Laplace et de Darboux) le lecteur pourra consulter le livre cité de Hardy (IX), qui contient une
bibliographie très complète.
NOTE HISTORIQUE
la théorie des séries. Ce n'est guère qu'avec l'apparition des développements
asymptotiques provenant de la théorie analytique des nombres que s'est enfin
opérée la distinction nette entre la notion de développement asymptotique et celle
dc série, en raison du fait que, dans la plupart des problèmes que traite cette
théorie, on ne peut obtenir explicitement qu'un très petit nombre de termes (le
plus souvent un seul) du développement cherché.
Ces problèmes ont aussi familiarisé les mathématiciens avec l'usage d'échelles
de comparaison autres que celle des puissances de la variable (réelle ou entière).
Cette extension remonte surtout aux travaux de P. du Bois-Reymond (VII) qui,
le premier, aborda systématiquement les problèmes de comparaison des fonctions
au voisinage d'un point, et, dans des travaux très originaux, reconnut le caractère
(< non archimédien des échelles de comparaison, en même temps qu'il étudiait
de façon générale l'intégration et la dérivation des relations de comparaison, et
en tirait une foule de conséquences intéressantes (VI1 b). Ses démonstrations
manquent toutefois de clarté et de rigueur, et c'est à G. H. Hardy (IX) que revient
la présentation correcte des résultats de du Bois-Reymond: sa contribution
principale a consisté à reconnaître et démontrer l'existence d'un ensemble de
a fonctions élémentaires )>, les fonctions (H), où les opérations usuelles de l'Analyse (notamment la dérivation) sont applicables aux relations de comparaison1.
Il n'entrait pas dans notre propos de développer dans ces chapitres les méthodes qui permettent
d'obtenir des développements asymptotiques de fonctions se classant dans certaines catégories particulières, comme par exemple certains types d'intégrales dépendant d'un paramètre, qui interviennent fréquemment en Analyse; sur ce point (et. en particulier sur les importantes mtthodes de
Laplace et de Darboux) le lecteur pourra consulter le livre cité de Hardy (IX), qui contient une
bibliographie très complète.