No 4
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.7
D'après le scholie du th. 1 (VI, p. 4), pour établir la formule (15), il suffit de
démontrer que, pour tout polynôme f (Y) E K[Y], on a
Or, le premier membre de (17) est Ux( f (X + Y)), et comme U = u(D), le
second membre de (1 7) est Uy( f (X + Y)), si bien que l'identité (1 7) se réduit à
(1) (VI, P. 2)
11 suffit ensuite d'appliquer (15) à l'opérateur de composition V-l = Dn/u(D)
pour obtenir (16), puisque, par définition, on a
O n notera que la formule (16) s'obtient aussi en multipliant les séries formelles
SP/u(S) et exp(XS), compte tenu de (6).
On dit que la série formelle (16) est la série générutrice des polynômes d'Appel1
attachés à U.
4 . Polynômes de Bernoulli
Considérons l'opérateur de composition U défini par
U ( f ( X ) ) = f ( X + 1) - * f ( X ) ;
on peut l'écrire U = eD - 1 (VI, p. 2, Exemple 1) ; c'est un opérateur d'ordre 1, et
D
si on pose U = DV, on a V-1 = ---- Le polynôme d'Appcll de degré n
eD - 1
correspondant à l'opérateur U s'appelle polynôme de Bernoulli de deçri. n et se note
Bn(X) ; si on pose h, = B,(O), on a les formules
et en particulier
Les formules (7) et (9) de VI p. 5, donnent, pour les polynômes de Bernoulli,
les relations