FVR VI. 6
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
$ 1
Ces formules sont en effet respectivement équivalentes aux relations suivantes
(compte tenu de la déf. 2) :
(Io)
D y - 1 = V-ID
(11)
(exp (YDx)) V ; l = Vg l exp (YDx)
(12)
UV-' = DP.
PROPOSITION 5. -Pour tout polynôme f E K[X] et tout opérateur de composition U
d'ordre fi, on a
(développement taylorien généralisé).
En effet, si on pose U = DpV = PDP, on a (VI, p. 2, formule (1))
en raison de la formule de Taylor et de la déf. 2 de VI, p. 5; il suffit d'appliquer
l'opérateur Ux aux deux membres extrêmes de la formule (14) pour obtenir (13).
3. Série génératrice des polynômes d'Appel1
Soit E l'anneau des séries formelles à une indéterminée S, à coefficients dans l'anneau de polynômes K[X] (A, IV, $5) autrement dit, l'anneau des séries formelles
m
g(X, S) = 2 an(X)Sn, où les an appartiennent à K[X]. Pour tout opérateur U
n=o
dans K[X], on définit une application Ux de E dans lui-même en posant
U,(g(X, S)) = 2 U(a,)Sn. Il est clair que E est un module sur l'anneau
n = O
.. -
K[[S]] des séries formelles en S à coefficients dans K; en raison de la linéarité de
U dans K[X], on vérifie aussitôt que pour tout élément 8 E K[[S]] et tout g E E,
on a Ux(Og) = OUx(g) ; autrement dit, Ux est une application linéaire du module
E dans lui-même.
PROPOSITION 6. - Soit U = DPV = u(D) un ofiérateur de composition d'ordre fi dans
K[X], u(S) étant une série d'ordre formellep dans K[[S]]. On a alors les formules
(15)
U,(exp (XS) ) = u(S) . exp (XS)
un étant le polynôme d'Appel1 d'indice n attaché à U.