No 2
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.5
2. Polynômes d'Appel1 attachés à un opérateur de composition
m
Étant donne un opérateur de composition U = 2 rrkDk # O, soit p le plus
k = O
petit des entiers k tels que a, # O; nous dirons que p est l'ordre de l'opérateur U.
PROPOSITION 2. - Tout opérateur de composition d'ordre O est inversible dans l'algèbre l?
des opérateurs de composition dans K[X] .
m
En effet, une série formelle 2 ukSk telle que u, # 0 est inversible dans
k=O
l'anneau K[[S]] (A, IV, k j 5 ) ; la proposition résulte donc du th. 1 de VI, p. 4.
PROPOSITION 3. - Soit U un opérateur de composition d'ordre p; pour tout polynôme f de
degré < p, U ( f) = O ; pour tout polynôme f # O de degré n p, U (f) est un polynôme
# O de degré n - p.
C'est une conséquence immédiate de la formule ( 2 ) de VI, p. 2 et de la
définition de l'ordre de U.
Il est clair que tout opérateur U d'ordre p peut s'écrire d'une seule manière
U = D V = VDP, où V est un opérateur d'ordre O (donc inversible) .
DÉFINITION 2. -Soit U = DPV un opérateur de composition d'ordre p dans K [ X ] .
On appelle polyndme d'Appel1 d'indice n attaché à l'opérateur U le polynôme un@) =
v- yxn).
1
Si V-' = 2 - pkDk (avec Po # O) on a donc
k=ok!
On vérifie ainsi que un est un polynôme de degré n (prop. 3) ; on a en outre
Les polynômes d'Appel1 attachés à U satisfont aux relations