FVR VI.4
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
$ 1
al
THÉORÈME 1. -L'application
gui, d toute série formelle u(S) = 2 akSk à une
k = O
m
indéterminée sur K, fait correspondre l'opérateur de composition u(D) =
akDk dans
k = O
K[X], est un isomorphisme de l'algèbre K[[S]] des séliesformelles sur l'algèbre I
' des
opérateurs de composition.
On vérifie aussitôt que cette application est un homomorphisme. Tout
m
revient donc à voir qu'elle est injective, autrement dit, que la relation 2 akDk =
k=O
O entraîne a, = O pour tout k; or, h!a, est le terme constant du polynôme obtenu
m
en appliquant Z akDk à Xh, d'où le théorème.
k = 0
COROLLAIRE. - L'algèbre l? des opérateurs de composition dans K[X] est commutative.
Exemple. - Si U est l'opérateur qui, à tout polynôme f (X), fait correspondre
1
f (X + h) (où h s K), on a Uo(Xk) = hk, et par suite U = 2 -
Par
k=ok!
analogie avec le développement en série de ex (III, p. 15), nous désignerons par
1
es ou exp(S) le série formelle 2 - Sn dans l'anneau K[[S]] ; on peut donc écrire
k=on!
U = ehD. En remplaçant dans ce raisonnement le corps K par le corps de fractions rationnelles K(Y), on voit de même que l'opérateur de translation Ty peut
s'écrire eYD.
On notera d'ailleurs que, dans l'anneau K[[S, Tl] des séries formelles sur K à
deux indéterminées, on a
1
et en particulier
(5)
(exp S) (exp ( - S)) = 1
ce qui justifie la notation introduite.
Scholie. - L'isomorphie de l'algèbre K[[S]] des séries formelles et de l'algèbre l?
des opérateurs de composition dans K[X], permet parfois de démontrer plus
simplement des propositions relatives à des séries formelles, en les démontrant
pour les opérateurs de composition qui leur correspondent (cf. VI, p. 6, prop. 6).