No 1
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.3
pour que U soit un opérateur de composition, on doit donc avoir UDk = DkU
pour tout entier k 3 1, et en particulier UD = DU. Inversement, si cette relation est vérifiée, elle entraîne UDk = DkU pour tout entier k 2 1, par récurrence
sur k ; la formule de Taylor montre alors que g(X + Y) = U.( f (X + Y)).
Pour tout polynôme f E K[X, Y], nous désignerons par Uo(f) le terme
indépendant de X dans le polynôme Ux( f) ; en particulier, si f E K[X], Uo( f ) est le
terme constant de U( f), et Uo est une forme linéaire sur K[X]. Pour tout polynôme
f E K[X], soit g = U( f ) ; on a, en vertu de la déf. 1 de VI, p. 2,
et si, dans cette formule, on remplace X par 0, on obtient
On voit donc qu'on a
où pk est le terme constant du polynôme U (Xk) .
Cette formule montre que la donnée des pk détermine complètement l'opérateur de composition U; inversement, si (pn) est une suite arbitraire d'éléments de
Ky la formule (2) définit un opérateur U qui est évidemment permutable avec D,
et par suite (VI, p. 2, prop. 1) un opérateur de composition. Nous écrirons
désormais la formule (2) sous la forme
Cette formule peut s'interpréter en langage topologique de la façon suivante: si
on considère sur K[X] la topologie discrète, et sur l'algèbre End (K[X]) des endomorphismes de K[X], la topologie de la convergence simple dans K[X] (TG, X,
1
p. 4), la série de terme général - p,Dk est commutativement convergente dans
k!
End(K[X]) et a pour somme U (TG, III, p. 44).
m
La formule (3) montre qu'à toute série f m e l l e u(S) = 2 ir,Sk à une ink = O
déterminée sur K (A, IV, 5 5), on peut faire correspondre l'opérateur de composition U = 2 akDk, que nous noterons désormais u(D). Cette remarque peut ttre
k = O
précisée de la façon suivante :
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
FVR VI.3
pour que U soit un opérateur de composition, on doit donc avoir UDk = DkU
pour tout entier k 3 1, et en particulier UD = DU. Inversement, si cette relation est vérifiée, elle entraîne UDk = DkU pour tout entier k 2 1, par récurrence
sur k ; la formule de Taylor montre alors que g(X + Y) = U.( f (X + Y)).
Pour tout polynôme f E K[X, Y], nous désignerons par Uo(f) le terme
indépendant de X dans le polynôme Ux( f) ; en particulier, si f E K[X], Uo( f ) est le
terme constant de U( f), et Uo est une forme linéaire sur K[X]. Pour tout polynôme
f E K[X], soit g = U( f ) ; on a, en vertu de la déf. 1 de VI, p. 2,
et si, dans cette formule, on remplace X par 0, on obtient
On voit donc qu'on a
où pk est le terme constant du polynôme U (Xk) .
Cette formule montre que la donnée des pk détermine complètement l'opérateur de composition U; inversement, si (pn) est une suite arbitraire d'éléments de
Ky la formule (2) définit un opérateur U qui est évidemment permutable avec D,
et par suite (VI, p. 2, prop. 1) un opérateur de composition. Nous écrirons
désormais la formule (2) sous la forme
Cette formule peut s'interpréter en langage topologique de la façon suivante: si
on considère sur K[X] la topologie discrète, et sur l'algèbre End (K[X]) des endomorphismes de K[X], la topologie de la convergence simple dans K[X] (TG, X,
1
p. 4), la série de terme général - p,Dk est commutativement convergente dans
k!
End(K[X]) et a pour somme U (TG, III, p. 44).
m
La formule (3) montre qu'à toute série f m e l l e u(S) = 2 ir,Sk à une ink = O
déterminée sur K (A, IV, 5 5), on peut faire correspondre l'opérateur de composition U = 2 akDk, que nous noterons désormais u(D). Cette remarque peut ttre
k = O
précisée de la façon suivante :