FVR VI.2
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
$ 1
Par l'isomorphisme canonique de K[X] sur K[Y] qui à X fait correspondre
Y, l'opérateur U se transforme en un opérateur dans K[Y] que nous noterons
Uy pour éviter toute confusion, Uy( f (Y)) étant donc le polynôme obtenu en
remplaçant X par Y dans le polynôme U( f (X)) = Ux( f (X)). Cet opérateur
Uy peut à son tour être prolongé en un opérateur (noté encore Uy) dans K[X, Y] :
m
m
si g(X, Y) = 2 Ph(X)Yh, on a donc ici Uy(g(X, Y)) = Ph(X) Uy(Yh).
h=O
h=O
Comme exemple de ces prolongements, citons l'opérateur de dérivation D dans
K[X] (A, IV, 3 4)' qui donne dans K[X, Y ] les opérateurs de dérivation partielle Dx
et Dy.
Pour tout polynôme f E K[X], nous désignerons par T, (f) le polynôme
f (X + Y) de K[X, Y]; l'application Ty est une application K-linéaire de
K[X] dans K[X, Y], dite opérateur de translation.
DÉFINITION 1. - On dit qu' un opérateur U dans K[X] est un opérateur de composition
s'il est permutable avec l'opérateur de translation, c'est-à-dire si U, Ty = Ty U.
En d'autres termes, si f est un polynôme quelconque de K[X], et si g = U (f),
on doit avoirg(X + Y) = Vx(f (X + Y)).
Il résulte aussitôt de cette définition que, pour tout polynôme f (X) E K[X],
on a, avec les notations introduites ci-dessus,
(1)
UX(f (X + Y)) = UY(f (X + Y)).
Exemples. - 1) Pour tout A E K, l'opérateur qui, à tout polynôme f (X), fait
correspondre le polynôme f ( X + A), est un opérateur de composition.
2 ) La dérivation D dans K [ X ] est un opérateur de composition (cf. prop. 1).
Remarque. - Comme K est un corps infini, pour que l'opérateur U dans K[X]
soit un opérateur de composition, il faut et il suffit que pour tout polynôme f e K[X]
et tout élément a E K, on ait, en posant g = U ( f ) , g(X + a) = U ( f (X + a)).
(A, IV, $2, no 4).
Il est clair que toute combinaison linéaire d'opérateurs de composition, à
coefficients dans K, est un opérateur de composition; il en est de même du composé de deux opérateurs de composition. En d'autres termes, les opérateurs de
composition forment une sous-algèbre I
' de l'algèbre des endomorphismes de
l'espace vectoriel K[X] .
PROPOSITION 1. - Pour qu' un opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition
il faut et il sujjît qu'il soit permutable avec la dérivation D dans K[X].
En effet, la formule de Taylor montre que, pour tout polynôme f E K[X], on a
O0
1
udf (x + y)) = Ux ( 2
k=ok! - YkDk f (X)) = k = o
5 1 k! YkU(Dk f (X));
sionposeg = U(f),ona
DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
$ 1
Par l'isomorphisme canonique de K[X] sur K[Y] qui à X fait correspondre
Y, l'opérateur U se transforme en un opérateur dans K[Y] que nous noterons
Uy pour éviter toute confusion, Uy( f (Y)) étant donc le polynôme obtenu en
remplaçant X par Y dans le polynôme U( f (X)) = Ux( f (X)). Cet opérateur
Uy peut à son tour être prolongé en un opérateur (noté encore Uy) dans K[X, Y] :
m
m
si g(X, Y) = 2 Ph(X)Yh, on a donc ici Uy(g(X, Y)) = Ph(X) Uy(Yh).
h=O
h=O
Comme exemple de ces prolongements, citons l'opérateur de dérivation D dans
K[X] (A, IV, 3 4)' qui donne dans K[X, Y ] les opérateurs de dérivation partielle Dx
et Dy.
Pour tout polynôme f E K[X], nous désignerons par T, (f) le polynôme
f (X + Y) de K[X, Y]; l'application Ty est une application K-linéaire de
K[X] dans K[X, Y], dite opérateur de translation.
DÉFINITION 1. - On dit qu' un opérateur U dans K[X] est un opérateur de composition
s'il est permutable avec l'opérateur de translation, c'est-à-dire si U, Ty = Ty U.
En d'autres termes, si f est un polynôme quelconque de K[X], et si g = U (f),
on doit avoirg(X + Y) = Vx(f (X + Y)).
Il résulte aussitôt de cette définition que, pour tout polynôme f (X) E K[X],
on a, avec les notations introduites ci-dessus,
(1)
UX(f (X + Y)) = UY(f (X + Y)).
Exemples. - 1) Pour tout A E K, l'opérateur qui, à tout polynôme f (X), fait
correspondre le polynôme f ( X + A), est un opérateur de composition.
2 ) La dérivation D dans K [ X ] est un opérateur de composition (cf. prop. 1).
Remarque. - Comme K est un corps infini, pour que l'opérateur U dans K[X]
soit un opérateur de composition, il faut et il suffit que pour tout polynôme f e K[X]
et tout élément a E K, on ait, en posant g = U ( f ) , g(X + a) = U ( f (X + a)).
(A, IV, $2, no 4).
Il est clair que toute combinaison linéaire d'opérateurs de composition, à
coefficients dans K, est un opérateur de composition; il en est de même du composé de deux opérateurs de composition. En d'autres termes, les opérateurs de
composition forment une sous-algèbre I
' de l'algèbre des endomorphismes de
l'espace vectoriel K[X] .
PROPOSITION 1. - Pour qu' un opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition
il faut et il sujjît qu'il soit permutable avec la dérivation D dans K[X].
En effet, la formule de Taylor montre que, pour tout polynôme f E K[X], on a
O0
1
udf (x + y)) = Ux ( 2
k=ok! - YkDk f (X)) = k = o
5 1 k! YkU(Dk f (X));
sionposeg = U(f),ona