CHAPITRE VI
Développements tayloriens généralisés
Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
tj 1. DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS
1. Opérateurs de composition dans une algèbre de polynômes
Soient K un corps commutatif de caractéristique 0, K[X] l'algèbre des polynômes à
une indéterminée sur K (A, IV, 5 1, no 1); dans tout ce paragraphe, nous
désignerons sous le nom d'opérateur dans K[X] toute application linéaire U de
l'espace vectoriel K[X] (par rapport à K) dans lui-même; comme les monômes
Xn (n 2 O) forment une base de cet espace, U est déterminé par la donnée des
m
polynômes U(Xn) ; de fason précise, si f (X) = 2 hkXk avec hk E K, on a
k = O
a)
u ( f ) = 2 hku(xk).
k=O
Si G est une algèbre commutative sur Ky ayant un élément unité, le Gmodule G[X] s'obtient par extension à G du corps des scalaires K de l'espace
vectoriel K[X]; tout opérateur U dans K[X] se prolonge donc d'une seule
manière en une application linéaire du G-module G[X] dans lui-même, que nous
m
noterons encore U (A, II, p. 82); pour tout élément g(X) =
ykXk, avec
k = O
m
fi E Gy on a U(g) = 2 ykU(Xk).
k = O
Considérons en particulier le cas où G = K[Y]; GEX] est donc l'anneau
K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées sur K; pour éviter toute confusion,
on notera Ux le prolongement de U à G[X]. Pour tout polynôme g(X, Y) =
00
m
2 yk(Y)Xk, où yk(Y) E K[Y] on a donc U,(g) = yk(Y) U(Xk). Comme
k = O
k = O
m
U, est lindaire, on voit que si on &rit g(X, Y) = 2 ph(X)Yh, on a aussi
h - 0
2 u(ah)yh.
W g ) = h = o