A ~ ~ .
EXERCICES
F' VR V.53
8) a) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à #(a, R) et telles
que f, 4 f n + l pour tout n. Montrer qu'il existe une fonctionf, continue, croissante, appartenant à &(s, R) et telle que f » f, pour tout n (se ramener au cas où f n < f,+ , et dtfinir f
desorteque f,(x) 4 f (x) d fn+l(x) pourn d x 4 n + 1).
b) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à X ( s , R), et telles que
1 « fn+ « f, pour tout n. Montrer qu'il existe une fonction f continue, croissante et appartenant à %(a, R), telle que 1 « f 4 f, pour tout n (en se ramenant au cas où fn+l < f,, montrer qu'on peut définir une suite croissante (x,) de nombres réels et une fonction continue et
croissante f telle que fn+ l(x) < f (x) < fn(x) pour x, 4 x < x,+ 1).
c ) Soient (f,), (g,) deux suites de fonctions continues croissantes appartenant à %(a, R),
telles que fn 4 fn+l, g, » gm+, et f, -4 g, quels que soient m et n; montrer qu'il existe une
fonction h continue, croissante, appartenant à Y($, R), telle que f, « h « g , , quels que
soient m et n (méthode analogue).
En particulier, montrer qu'il existe une fonction continue et décroissantef, appartenant à
.@(a, R ) et telle qu'aucun critère logarithmique ne permette de déterminer si l'intégrale
Sa+ f (t)dt est convergente ou infinie (s théorthes de Du Bois-Reymond ,>).
9) Montrer que la série 3 converge uniformément dans toute partie compacte de R,
n = l en(n)
et que sa somme f (x) est telle que f (x) b en@) pour tout entier n.
10) Montrer qu'il existe une fonction croissante f, définie, continue et > O pour x b O,
telle que f (2x) = 2f(X) pour tout x 5 0; en déduire que, pour tout entier n, on a f (x) » en(x).
11) Soit f une fonction croissante, continue et > 0, définie pour x 2 O, et telle que
~ ' ( x )
» e,(x) pour tout entier n; montrer que, si g est la fonction réciproque de f, on a
1 « g(x) « Ln(x) pour tout entier n.
7 12) Pour tout entier n > O, soit n = 3 ik2& le développement dyadique de n (rk entier
k = O
nul sauf pour un nombre fini d'indices, O < ik < 1). On pose
a
a) Démontrer la formule Al(n) = kzo (k + 2)ik2*-1. En déduire la formule
n log n
Al(n) = - + o(n log log n)
2 log 2
lorsque n croit indéfiniment (décomposer la somme qui exprime Al(n) en deux parties,
l'indice k variant de O à y(n) dans la première somme, de y(n) à nl dans la seconde, où nl
est le plus grand des nombres k tels que ck # O, et y(n) un nombre convenablement choisi;
on majorera la première somme en utilisant la prop. 6 de V, p. 29, et on majorera ensuite la
différence entre la deuxième somme et nln/2).
b ) Démontrer la relation
f étant une fonction quelconque définie dans N (considérer pour un k donné le nombre des
j < 2, tels que a ( j ) = k).
c) Pour m = Zr - 1, démontrer la relation a(m - j ) + a ( j ) = r. Déduire de cette relation
et de b) qu'on a
A&,) = r2*-l N
2"' log log 2"'
2 log 2
EXERCICES
F' VR V.53
8) a) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à #(a, R) et telles
que f, 4 f n + l pour tout n. Montrer qu'il existe une fonctionf, continue, croissante, appartenant à &(s, R) et telle que f » f, pour tout n (se ramener au cas où f n < f,+ , et dtfinir f
desorteque f,(x) 4 f (x) d fn+l(x) pourn d x 4 n + 1).
b) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à X ( s , R), et telles que
1 « fn+ « f, pour tout n. Montrer qu'il existe une fonction f continue, croissante et appartenant à %(a, R), telle que 1 « f 4 f, pour tout n (en se ramenant au cas où fn+l < f,, montrer qu'on peut définir une suite croissante (x,) de nombres réels et une fonction continue et
croissante f telle que fn+ l(x) < f (x) < fn(x) pour x, 4 x < x,+ 1).
c ) Soient (f,), (g,) deux suites de fonctions continues croissantes appartenant à %(a, R),
telles que fn 4 fn+l, g, » gm+, et f, -4 g, quels que soient m et n; montrer qu'il existe une
fonction h continue, croissante, appartenant à Y($, R), telle que f, « h « g , , quels que
soient m et n (méthode analogue).
En particulier, montrer qu'il existe une fonction continue et décroissantef, appartenant à
.@(a, R ) et telle qu'aucun critère logarithmique ne permette de déterminer si l'intégrale
Sa+ f (t)dt est convergente ou infinie (s théorthes de Du Bois-Reymond ,>).
9) Montrer que la série 3 converge uniformément dans toute partie compacte de R,
n = l en(n)
et que sa somme f (x) est telle que f (x) b en@) pour tout entier n.
10) Montrer qu'il existe une fonction croissante f, définie, continue et > O pour x b O,
telle que f (2x) = 2f(X) pour tout x 5 0; en déduire que, pour tout entier n, on a f (x) » en(x).
11) Soit f une fonction croissante, continue et > 0, définie pour x 2 O, et telle que
~ ' ( x )
» e,(x) pour tout entier n; montrer que, si g est la fonction réciproque de f, on a
1 « g(x) « Ln(x) pour tout entier n.
7 12) Pour tout entier n > O, soit n = 3 ik2& le développement dyadique de n (rk entier
k = O
nul sauf pour un nombre fini d'indices, O < ik < 1). On pose
a
a) Démontrer la formule Al(n) = kzo (k + 2)ik2*-1. En déduire la formule
n log n
Al(n) = - + o(n log log n)
2 log 2
lorsque n croit indéfiniment (décomposer la somme qui exprime Al(n) en deux parties,
l'indice k variant de O à y(n) dans la première somme, de y(n) à nl dans la seconde, où nl
est le plus grand des nombres k tels que ck # O, et y(n) un nombre convenablement choisi;
on majorera la première somme en utilisant la prop. 6 de V, p. 29, et on majorera ensuite la
différence entre la deuxième somme et nln/2).
b ) Démontrer la relation
f étant une fonction quelconque définie dans N (considérer pour un k donné le nombre des
j < 2, tels que a ( j ) = k).
c) Pour m = Zr - 1, démontrer la relation a(m - j ) + a ( j ) = r. Déduire de cette relation
et de b) qu'on a
A&,) = r2*-l N
2"' log log 2"'
2 log 2