FVR V.52
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
*PP.
toute fonction g du corps de Hardy !@(ul, . . ., u,), non identiquement nulle au voisinage
de + co, il existe un nombre p > O tel que
(méthode analogue).
c) En déduire que si Jest une fonction (H) admettant une suite de définition de n ternies, et
non identiquement nulle dans un voisinage dc +CO, il existe un nombre A > O tel que
1
e , o
« f (x) «e,(x".
2) a) Montrer que toute fonction (H) possédant une suitc de définition d'un seul terme est
équivalente à une fonction de l'une des formes xP(1og x)q, ou ~peg'~), où p et q sont des entiers
rationnels, et g un polynôme en x (méthode de l'exerc. 1).
b) Déduire de a) que toute fonction du corps de Hardy W(x, u,, . . . , u,), où ul, . . ., u, sont
des fonctions (K) ayant une suite de définition d'un seul terme, est équivalente à une fonction de la forme xP (log ~)qeg(~) où$ et q sont des entiers rationnels, et g un polynôme en x.
3) Soient f et g deux fonctions (H) telles que f /g soit d'ordre O par rapport à lm(x) ; montrer
que si g n'est pas d'ordre O par rapport à l,(x), on a f '/g' N f /g (comparer log 1 f 1 et log Igl).
4) Soit 9 un corps de Hardy tel que, pour toute fonction f E SY non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une constantc k et un cntier rationnel r tels
que f (x) - k(l,(x))'.
a) Soit z une fonction quelconque de B, non identiquement nulle dans un voisinage de $ m.
Montrer que toute fonction g du corps dc Hardy @(loglzl) non équivalente à une constante,
et d'ordre O par rapport à lm(x), est équivalente à une fonction de la formc k(l,,+l(x))r
(k constante, r entirr rationnel). (Considérer d'abord le cas où g est un polynôme de degré
p en loçlzl, à coefficients dans 9, et raisonner par recurrence sur 4, en utilisant l'exerc. 3;
si g est une fonction rationnelle de log1 zl, à coefficients dans 9, raisonner par récurrence sur
le degré du numérateur, en utilisant l'exerc. 3.)
b) Montrer que toute fonction de @(l,+,(x)) est équivalente à une fonction de la forme
f (x) (lm + ,(x))I, où f E !@ et r est un entier rationnel.
c ) Soit z une fonction quelconque de 9. Montrer que toute fonction g du corps de Hardy
P(eZ), d'ordre O par rapport à l,(x), est équivalente à une constante. (Considérer d'abord le
cas où g = uqP(u), où u = e", q est un cntier rationnel, et P(u) un polynôme en u, de degré
p, à coefficients dans 9; raisonner alors par récurrence sur p, en utilisant a ) et l'exerc. 3.
Passer de là au cas général en utilisant l'exerc. 3.)
d) Etendre le résultat de a) au corps P(u,, u,, . . ., us), où les u, sont de la forme e"k ou
log lz,l, les z, étant des fonctions de !@ non identiquement nulles dans un voisinage de +or,
(raisonner par récurrence surs).
5) a) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (H) ayant une suite de définition de n
termes, non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une
constante k et un entier rationnel r tels que f (x) N k ( l , ( ~ ) ) ~ .
b) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (R) quelconque, il existe un entier n tel
que le critère logarithmique d'ordre n soit applicable pour déterminer si l'intégrale
J : " f (t)dt est convergente ou infinie.
6) Comparer entre elles les fonctions e,((l,(x))P) suivant les valeurs des entiers p et q et d u
nombre réel p, supposé > O, et # 1.
7 7) Soit f une fonction (H) ayant une suite de définition de n termes. Montrer que si on a
ep((4 + l(.))
« f (x) « e,((&) lu) (resp. e,((l,(x)) 9 9f (x) 9 e, + 1 ((&))OL) quel que soit
p > O et quel que soit a tel que O < a < 1, on a nécessairement p + q + 1 < n (raisonner
par récurrence sur n, en utilisant des mEthodes analogues à celles des exerc. 1 (V p. 51)
et 4 (V, p. 67)).
ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS
*PP.
toute fonction g du corps de Hardy !@(ul, . . ., u,), non identiquement nulle au voisinage
de + co, il existe un nombre p > O tel que
(méthode analogue).
c) En déduire que si Jest une fonction (H) admettant une suite de définition de n ternies, et
non identiquement nulle dans un voisinage dc +CO, il existe un nombre A > O tel que
1
e , o
« f (x) «e,(x".
2) a) Montrer que toute fonction (H) possédant une suitc de définition d'un seul terme est
équivalente à une fonction de l'une des formes xP(1og x)q, ou ~peg'~), où p et q sont des entiers
rationnels, et g un polynôme en x (méthode de l'exerc. 1).
b) Déduire de a) que toute fonction du corps de Hardy W(x, u,, . . . , u,), où ul, . . ., u, sont
des fonctions (K) ayant une suite de définition d'un seul terme, est équivalente à une fonction de la forme xP (log ~)qeg(~) où$ et q sont des entiers rationnels, et g un polynôme en x.
3) Soient f et g deux fonctions (H) telles que f /g soit d'ordre O par rapport à lm(x) ; montrer
que si g n'est pas d'ordre O par rapport à l,(x), on a f '/g' N f /g (comparer log 1 f 1 et log Igl).
4) Soit 9 un corps de Hardy tel que, pour toute fonction f E SY non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une constantc k et un cntier rationnel r tels
que f (x) - k(l,(x))'.
a) Soit z une fonction quelconque de B, non identiquement nulle dans un voisinage de $ m.
Montrer que toute fonction g du corps dc Hardy @(loglzl) non équivalente à une constante,
et d'ordre O par rapport à lm(x), est équivalente à une fonction de la formc k(l,,+l(x))r
(k constante, r entirr rationnel). (Considérer d'abord le cas où g est un polynôme de degré
p en loçlzl, à coefficients dans 9, et raisonner par recurrence sur 4, en utilisant l'exerc. 3;
si g est une fonction rationnelle de log1 zl, à coefficients dans 9, raisonner par récurrence sur
le degré du numérateur, en utilisant l'exerc. 3.)
b) Montrer que toute fonction de @(l,+,(x)) est équivalente à une fonction de la forme
f (x) (lm + ,(x))I, où f E !@ et r est un entier rationnel.
c ) Soit z une fonction quelconque de 9. Montrer que toute fonction g du corps de Hardy
P(eZ), d'ordre O par rapport à l,(x), est équivalente à une constante. (Considérer d'abord le
cas où g = uqP(u), où u = e", q est un cntier rationnel, et P(u) un polynôme en u, de degré
p, à coefficients dans 9; raisonner alors par récurrence sur p, en utilisant a ) et l'exerc. 3.
Passer de là au cas général en utilisant l'exerc. 3.)
d) Etendre le résultat de a) au corps P(u,, u,, . . ., us), où les u, sont de la forme e"k ou
log lz,l, les z, étant des fonctions de !@ non identiquement nulles dans un voisinage de +or,
(raisonner par récurrence surs).
5) a) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (H) ayant une suite de définition de n
termes, non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une
constante k et un entier rationnel r tels que f (x) N k ( l , ( ~ ) ) ~ .
b) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (R) quelconque, il existe un entier n tel
que le critère logarithmique d'ordre n soit applicable pour déterminer si l'intégrale
J : " f (t)dt est convergente ou infinie.
6) Comparer entre elles les fonctions e,((l,(x))P) suivant les valeurs des entiers p et q et d u
nombre réel p, supposé > O, et # 1.
7 7) Soit f une fonction (H) ayant une suite de définition de n termes. Montrer que si on a
ep((4 + l(.))
« f (x) « e,((&) lu) (resp. e,((l,(x)) 9 9f (x) 9 e, + 1 ((&))OL) quel que soit
p > O et quel que soit a tel que O < a < 1, on a nécessairement p + q + 1 < n (raisonner
par récurrence sur n, en utilisant des mEthodes analogues à celles des exerc. 1 (V p. 51)
et 4 (V, p. 67)).