EXERCICES
FVR V.51
1[ 8) a) Soit (z,) une suite de nombres con~plcxes. Montrcr que si les séries de terme
général z,, 22, . . . , zz-l, 1 zn]q sont convergentes, le produit infini de facteur général 1 + zn
est convergent.
b) Si zn est réel et si la série de terme général z, est convergente, le produit infini de facteur
général 1 + zn est convergent si la série de terme gknéral z i est convergente, et on a
c) Pour tout entierp, on pose
P - 1
2 x
k p = [log log A, h, = 2 Xi, o - - .
" - k,
O n définit de la façon suivante la suite (2,) de nombres complexes: pour n = hp + m,
O < m < k, - 1, on pose z, = em'%/logp. Montrer que pour tout entier g > O, la série de
terme général zQ est convergente, mais que le produit de facteur général 1 + r, n'cst pas
convergent.
9) a) Démontrer, à l'aide de la formule de Stirling, que le maximum de la fonction
xk
&(x) = 1 e- " - c - x 3 ( - 1) a / dans l'intervalle (O, + a ( , tend vers O avec Ijn.
1c = O
b) En déduire, par récurrencc sur' l'entier p, que pour tout E > O, il existe un polynôme
g(x) tel que leëPx - e-.g(x)l < E pour tout x > O (remplacer x par px/2 dans a), et utiliser
l'hypothèse de récurrence appliquée à eë(p).
10) Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule
lorsque n tend vers +a.
7 11) Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule
lorsque n tend vers +CO (comparer chaque terme (fi!) -"in à n-=pln).
Appendice
1) Soit L un corps de Hardy tel quc, pour toutc foriction f E S? non identiquement nulle au
voisinage de +a, il existe A > O tel que
l
9 f (x) 3 e,, (2)
e
x
(m entier indépendant de f ) .
a) Soint u,, u,, . . ., up p fonctions de la forme uk=loglzkl, où z, E S n'est pas nulle dans un
voisinage de + m. Montrer que pour toute fonction g (non nulle dans un voisinage de + CO)
du corps de Hardy L(ul,. . ., 21,) obtenu par adjonciion à .
Q des fonctions uk (1 < k
l « g(x) < e,,, ( x 3
m
(se ramener au cas où p. est un polynôme par rapport aux u,, à coeficients dans $2, et raisonner
par récurrence sur p, puis, pour p = 1, raisonner par récurrence sur le degré du polynôme
g en procédant comme dans le lemme 2 de V, p. 37).
6) Soient uk (1 , ( k < p) p fonctions de la forme u, = exp (2,) où zk E S. Montrer que pour
FVR V.51
1[ 8) a) Soit (z,) une suite de nombres con~plcxes. Montrcr que si les séries de terme
général z,, 22, . . . , zz-l, 1 zn]q sont convergentes, le produit infini de facteur général 1 + zn
est convergent.
b) Si zn est réel et si la série de terme général z, est convergente, le produit infini de facteur
général 1 + zn est convergent si la série de terme gknéral z i est convergente, et on a
c) Pour tout entierp, on pose
P - 1
2 x
k p = [log log A, h, = 2 Xi, o - - .
" - k,
O n définit de la façon suivante la suite (2,) de nombres complexes: pour n = hp + m,
O < m < k, - 1, on pose z, = em'%/logp. Montrer que pour tout entier g > O, la série de
terme général zQ est convergente, mais que le produit de facteur général 1 + r, n'cst pas
convergent.
9) a) Démontrer, à l'aide de la formule de Stirling, que le maximum de la fonction
xk
&(x) = 1 e- " - c - x 3 ( - 1) a / dans l'intervalle (O, + a ( , tend vers O avec Ijn.
1c = O
b) En déduire, par récurrencc sur' l'entier p, que pour tout E > O, il existe un polynôme
g(x) tel que leëPx - e-.g(x)l < E pour tout x > O (remplacer x par px/2 dans a), et utiliser
l'hypothèse de récurrence appliquée à eë(p).
10) Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule
lorsque n tend vers +a.
7 11) Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule
lorsque n tend vers +CO (comparer chaque terme (fi!) -"in à n-=pln).
Appendice
1) Soit L un corps de Hardy tel quc, pour toutc foriction f E S? non identiquement nulle au
voisinage de +a, il existe A > O tel que
l
9 f (x) 3 e,, (2)
e
x
(m entier indépendant de f ) .
a) Soint u,, u,, . . ., up p fonctions de la forme uk=loglzkl, où z, E S n'est pas nulle dans un
voisinage de + m. Montrer que pour toute fonction g (non nulle dans un voisinage de + CO)
du corps de Hardy L(ul,. . ., 21,) obtenu par adjonciion à .
Q des fonctions uk (1 < k
l « g(x) < e,,, ( x 3
m
(se ramener au cas où p. est un polynôme par rapport aux u,, à coeficients dans $2, et raisonner
par récurrence sur p, puis, pour p = 1, raisonner par récurrence sur le degré du polynôme
g en procédant comme dans le lemme 2 de V, p. 37).
6) Soient uk (1 , ( k < p) p fonctions de la forme u, = exp (2,) où zk E S. Montrer que pour