FVR V.50
§ 4
1) Si la série de terme général un & O est convergente, il en est de même de la série de terme
général .\/U,U,+~.
La réciproque est inexacte en général; montrer qu'elle est vraie si la
suite (un) est décroissante.
2) Soit (fi,) une suite croissante de nombres > O, tendant vers + CO.
a) Si le rapport ~ , / p , - ~ tend vers 1 lorsque n croît indéfiniment, montrer que l'on a
1
+
pE+ l pour p > - 1
&Jk
(bk - bk-1) -
k = l
(appliquer la prop. 2 de V, p. 27).
b) Sans hypothèse sur le rapportpn/fn - ,, montrer que la série de terme général (fi, - pn - ,)Ibn
a toujours une somme infinie (distinguer deux cas suivant que pn/pn-, tend ou non vers 1).
c) Montrer que, pour p > O, la série de terme général (fi, - fn-l)/pnfi~-l est convergente
1
1
(comparer à la série de terme général - - -,
1
pn
3) Montrer que, pour toute série convergente (un) à termes > O, il existe une série (un) de
somme infinie, à termes > O, telle que lim. inf vn/un = O.
n + m
4) Soit (u,,) une suite décroissante de nombres >O; s'il existe un entier k tel que kukn > un
quel que soit n à partir d'un certain rang, la série de terme général un a une somme infinie.
5) Soit (un) une série à termes > O à partir d'un certain rang. Montrer que si
lima sup r ~ ) ~
< 9
n- m
la série (un) est convergente, et que si lime inf (un +
2 I/e, la série a une somme infinie.
n + m
6) Soit (un) une série à termes réels # O, tels que lim un = O. Montrer que, s'il existe un
n- m
nombre r tel que O < 7 < 1 et qu'à partir d'une certaine valeur de n, on ait - 1 < un+ Jun < 7,
la série (un) est convergente.
7) Soit (un) une série convergente à termes > O.
a) Montrer que
lim u1 + 2u2 + - . . + nu, = o.
n + m
n
b ) Montrer que
c) ~ é d u & e
de a) et b), que l'on a
lim n(ulu2. . . un)lln = O
n - w
(appliquer l'inégalité (8) de III, p. 3).