8 3
EXERCICES
FVR V.49
3) Donner un exemple de deux fonctions f, g positives, décroissantes et tendant vers O
lorsque x tend vers +CO, comparables d'ordre 1 et telles que xf (x) et xg(x) ne soient pas
comparables d'ordre 1 (prendre f et g équivalentes et telles que
ne soient pas comparables).
sin x
sin x
4) a) Montrer que l'on a - N - (1 + %) , mais que l'intégrale
i x 4;
+
sin t
convergente et l'intégrale Sa (1 + %) dt infinie.
+ " sin2t
b) Montrer que les intégrales
sont toutes deux convergentes, mais
que lx+ y dt n'est pas
dt, bien que l'on ait sinaf/t2 < sin f/i.
c) O n considère les deux fonctions continues à valeurs dans R2, définies dans (1, +CO(:
sin x
1 sin x
Montrer qu'elles ne s'annulent pour aucune valeur de x, qu'on a f
g pour x tendant
vers + m, que les intégrales Sa " f (t)dt et " g(t)dt sont convergentes, mais que S: " f (t)dt
n'est pas équivalente à S: " g(t)dt lorsque x tend vers + CQ.
7 5) Soit f une fonction numérique convexe définie dans un voisinage de + CQ, telle que f x) > x.
O n dit que f est régulièrement convexe au voisinage de + cc si, pour toute fonction convexe g définie
dans un voisinage de + CQ et telle que f w g, on a aussi f,' N gd.
Pour tout nombre a > O et tout x assez grand, soit k(a, x) la borne inférieure des nombres (f (y) - ( y - x) f,' ( y))/ f (x) lorsque y parcourt l'ensemble des nombres 2 x tels que
fi ( y) < (1 + cc) f,' (x). Soit de même h(a, x) la borne inférieure des nombres
( f ( 4 + (x - z)fd(z))lf ( 4
lorsque z parcourt l'ensemble des nombres (1 -O) fd(x). Soient +(a) =
lim sup k(a, x), cp(cc) = limesup h(m, x). Montrer:que, pour que f soit régulièrement convexe
x + + m
x + + m
a u voisinage de +a, il faut et il suffit que, pour tout a > O assez petit, on ait +(cc) < 1 et
d g ) < 1.
7 6) Soient f une fonction vectorielle continue dans un intervalle (x,, + cc[ de R et telle que,
pour tout A > O, 12 fonction f (x + A) - f (x) tende vers O lorsque x tend vers +a.
a) Montrer que f (x + A) - f (x) tend uniformément vers O avec lix lorsque A appartient à un
intervalle compact quelconque K = (a, b ) de (O, +cc[. (Raisonner par l'absurde: s'il existe
une suite (x,) tendant vers +CO et une suite (A,) de points de K telles que
Il f (xn + An) - f (xn) jl > cc > 0
pour tout n, il existe un voisinage J, de A, dans K tel que I(f (x, + A) - f (x,) /j > a pour
tout A E J,. Construire par récurrence une suite décroissante d'intervalles fermés II, c K, et
une suite (x,,) extraite de (x,), telles que jlf (x,, + A) - f (x,,) 11 > 4 3 pour tout A E Ik;
on remarquera pour cela que si Sk est la longueur de 1, et q un entier tel que q8, > b - a,
on a Ijf (x + SI,) - f (x) I I < 4 3 q dès que x est assez grand).
b) Déduire de a) que S:+ f (t) rlt - f (x) tend vers O lorsque x tend vers + CQ, et en conclure
quel'on a f ( x ) = O@).
7) Soit g une fonction numérique strictement positive, continue dans un intervalle [x,, + CO(,
et telle que, pour tout p > O, on ait g ( ~ x )
N g(x). Déduire de 19exerc. 6 que g est d'ordre O
par rapport à x.
EXERCICES
FVR V.49
3) Donner un exemple de deux fonctions f, g positives, décroissantes et tendant vers O
lorsque x tend vers +CO, comparables d'ordre 1 et telles que xf (x) et xg(x) ne soient pas
comparables d'ordre 1 (prendre f et g équivalentes et telles que
ne soient pas comparables).
sin x
sin x
4) a) Montrer que l'on a - N - (1 + %) , mais que l'intégrale
i x 4;
+
sin t
convergente et l'intégrale Sa (1 + %) dt infinie.
+ " sin2t
b) Montrer que les intégrales
sont toutes deux convergentes, mais
que lx+ y dt n'est pas
dt, bien que l'on ait sinaf/t2 < sin f/i.
c) O n considère les deux fonctions continues à valeurs dans R2, définies dans (1, +CO(:
sin x
1 sin x
Montrer qu'elles ne s'annulent pour aucune valeur de x, qu'on a f
g pour x tendant
vers + m, que les intégrales Sa " f (t)dt et " g(t)dt sont convergentes, mais que S: " f (t)dt
n'est pas équivalente à S: " g(t)dt lorsque x tend vers + CQ.
7 5) Soit f une fonction numérique convexe définie dans un voisinage de + CQ, telle que f x) > x.
O n dit que f est régulièrement convexe au voisinage de + cc si, pour toute fonction convexe g définie
dans un voisinage de + CQ et telle que f w g, on a aussi f,' N gd.
Pour tout nombre a > O et tout x assez grand, soit k(a, x) la borne inférieure des nombres (f (y) - ( y - x) f,' ( y))/ f (x) lorsque y parcourt l'ensemble des nombres 2 x tels que
fi ( y) < (1 + cc) f,' (x). Soit de même h(a, x) la borne inférieure des nombres
( f ( 4 + (x - z)fd(z))lf ( 4
lorsque z parcourt l'ensemble des nombres
lim sup k(a, x), cp(cc) = limesup h(m, x). Montrer:que, pour que f soit régulièrement convexe
x + + m
x + + m
a u voisinage de +a, il faut et il suffit que, pour tout a > O assez petit, on ait +(cc) < 1 et
d g ) < 1.
7 6) Soient f une fonction vectorielle continue dans un intervalle (x,, + cc[ de R et telle que,
pour tout A > O, 12 fonction f (x + A) - f (x) tende vers O lorsque x tend vers +a.
a) Montrer que f (x + A) - f (x) tend uniformément vers O avec lix lorsque A appartient à un
intervalle compact quelconque K = (a, b ) de (O, +cc[. (Raisonner par l'absurde: s'il existe
une suite (x,) tendant vers +CO et une suite (A,) de points de K telles que
Il f (xn + An) - f (xn) jl > cc > 0
pour tout n, il existe un voisinage J, de A, dans K tel que I(f (x, + A) - f (x,) /j > a pour
tout A E J,. Construire par récurrence une suite décroissante d'intervalles fermés II, c K, et
une suite (x,,) extraite de (x,), telles que jlf (x,, + A) - f (x,,) 11 > 4 3 pour tout A E Ik;
on remarquera pour cela que si Sk est la longueur de 1, et q un entier tel que q8, > b - a,
on a Ijf (x + SI,) - f (x) I I < 4 3 q dès que x est assez grand).
b) Déduire de a) que S:+ f (t) rlt - f (x) tend vers O lorsque x tend vers + CQ, et en conclure
quel'on a f ( x ) = O@).
7) Soit g une fonction numérique strictement positive, continue dans un intervalle [x,, + CO(,
et telle que, pour tout p > O, on ait g ( ~ x )
N g(x). Déduire de 19exerc. 6 que g est d'ordre O
par rapport à x.